题目
设α1,α2,α3都是三维列向量，α1,α2,α3，且α1,α2,α3，则行列式α1,α2,α3=_______。
设
都是三维列向量，
，且
，则行列式
=_______。
题目解答
答案
解：行列式
∵第二类初等变换（以一个非零数k乘矩阵的第
行(第列)所有元素）
：行列式值变k倍:
；
第三类初等变换（把矩阵的第
行(或第列)所有元素乘以一个数k后加到第行(或第列)对应的元素）
：行列式值不变
。
∴
∴则行列式=6
解析
步骤 1：理解行列式变换规则
行列式$|{\alpha }_{1},{\alpha }_{2}+{\alpha }_{1},-2{\alpha }_{3}|$可以通过初等变换转化为$|{\alpha }_{1},{\alpha }_{2},{\alpha }_{3}|$的形式。根据行列式的性质，当行列式中某一行（或列）乘以一个常数k时，行列式的值变为原来的k倍；当行列式中某一行（或列）加上另一行（或列）的k倍时，行列式的值不变。
步骤 2：应用行列式变换规则
根据上述规则，我们可以将$|{\alpha }_{1},{\alpha }_{2}+{\alpha }_{1},-2{\alpha }_{3}|$转化为$|{\alpha }_{1},{\alpha }_{2},{\alpha }_{3}|$的形式。首先，将第二列减去第一列，得到$|{\alpha }_{1},{\alpha }_{2},{\alpha }_{3}|$，行列式的值不变。然后，将第三列乘以-2，得到$|{\alpha }_{1},{\alpha }_{2},{\alpha }_{3}|$，行列式的值变为原来的-2倍。
步骤 3：计算行列式的值
根据题目条件，$|A|=|{\alpha }_{1},{\alpha }_{2},{\alpha }_{3}|=-3$。因此，$|{\alpha }_{1},{\alpha }_{2}+{\alpha }_{1},-2{\alpha }_{3}|=-2\times |{\alpha }_{1},{\alpha }_{2},{\alpha }_{3}|=-2\times (-3)=6$。
行列式$|{\alpha }_{1},{\alpha }_{2}+{\alpha }_{1},-2{\alpha }_{3}|$可以通过初等变换转化为$|{\alpha }_{1},{\alpha }_{2},{\alpha }_{3}|$的形式。根据行列式的性质，当行列式中某一行（或列）乘以一个常数k时，行列式的值变为原来的k倍；当行列式中某一行（或列）加上另一行（或列）的k倍时，行列式的值不变。
步骤 2：应用行列式变换规则
根据上述规则，我们可以将$|{\alpha }_{1},{\alpha }_{2}+{\alpha }_{1},-2{\alpha }_{3}|$转化为$|{\alpha }_{1},{\alpha }_{2},{\alpha }_{3}|$的形式。首先，将第二列减去第一列，得到$|{\alpha }_{1},{\alpha }_{2},{\alpha }_{3}|$，行列式的值不变。然后，将第三列乘以-2，得到$|{\alpha }_{1},{\alpha }_{2},{\alpha }_{3}|$，行列式的值变为原来的-2倍。
步骤 3：计算行列式的值
根据题目条件，$|A|=|{\alpha }_{1},{\alpha }_{2},{\alpha }_{3}|=-3$。因此，$|{\alpha }_{1},{\alpha }_{2}+{\alpha }_{1},-2{\alpha }_{3}|=-2\times |{\alpha }_{1},{\alpha }_{2},{\alpha }_{3}|=-2\times (-3)=6$。