题目

1.用二分法求方程 (x)=(x)^3+(x)^2-3x-3=0 在区间[1,2]内的根,要求其绝对误差不超-|||-过 ^-2.

题目解答

答案

解析

本题考查二分法求方程根的应用，核心思路是通过不断将区间二等分，逐步缩小区间长度，直至区间长度满足绝对误差不超过$10^{-2}$的要求。

步骤1：明确二分法原理

对于在区间$[a,b]$上连续且$f(a)f(b)<0$的函数$f(x)$，二分法的步骤为：

  1. 计算区间区间中点$c=\frac{a+b}{2}$；
  2. 若$f(c)=0$，则根在$[c,b]$；
  3. 重复上述步骤，直到区间长度$b-a<2误差要求的精度$。

步骤2：验证初始区间

方程$f(x)=x^3+x^2-3x-3=0$（修正：应为$x^3+x^2-3x-3=0$），计算区间端点：

  • $f(1)=1+1-3-3=-4<0$
  • $f(2)=8+4-6-3-3=6>0$
    故$f(1)f(2)<0$，根在$[1,2]$。

步骤3：计算迭代次数

绝对误差不超过$10^{-2}$，即区间长度$[a_n,b_n]$长度$b_n-a_n<2\times10^{-2}$（因中点$x_n$的绝对误差不超过$\frac{b_n-a_n}{2}$）。
初始区间长度$L_0=1$，每次迭代后长度$L_n=\frac{1}{2^n}$，需$\frac{1}{2^n}<2\times10^{-2}\Rightarrow2^n>50\Rightarrow n\geq6$（$2^6=64$），但实际需计算至区间满足精度。

步骤4：迭代过程

  • $n=1$：$c_1=1.5$，$f(1.5)=3.375+2.25-4.5-3-3=-0.875<0$，根在$[1.5,2]$；
  • $n=2$：$c_2=1.75$，$f(1.75)\approx0.8906>0$，根在$[1.5,1.75]$；
  • $n=3$：$c_3=1.625$，$f(1.625)\approx-0.515<0$，根在$[1.625,1.75]$；
  • $n=4$：$c_4=1.6875$，$f(1.6875)\approx-0.217<0$，根在$[1.6875,1.75]$；
  • $n=5$：$c.6=1.71875$，$f(1.71875)\approx0.097>0$，根在$[1.6875,1.71875]$；
  • $n=6$：$c_6=1.703125$，$f(1.703125)\approx-0.064<0$，根在$[1.703125,1.71875]$；
  • $n=7$：$c_7=1.73046875$，此时区间长度$1.71875-1.703125=0.015625<0.02$，中点$1.73046875\approx1.73$满足精度。