题目
真空中一半径为R的均匀带电球面总电量为Q(Q>0),今在球面上挖去非常小的一块面积△S(连同电荷),且假设不影响原来的电荷分布,则挖去△S后球心O处电场强度的大小E= ,其方向为 。
真空中一半径为R的均匀带电球面总电量为Q(Q>0),今在球面上挖去非常小的一块面积△S(连同电荷),且假设不影响原来的电荷分布,则挖去△S后球心O处电场强度的大小
E= ,其方向为 。
题目解答
答案
解:此题可以用“反号电荷补偿法”求解:该带电体系可看成是一个完整的带电为Q的、半径为R的均匀带电球面和面积为ΔS的、带与完整球面电荷面密度相等但为负电小面元(可以看成点电荷)组成。根据场强叠加原理,O电的场强是上述两者各自单独存在时产生的场强的叠加。由于完整带电球面在O点产生的场强为零,而带负电的小面元在O点产生的场强大小为
这就是O点最终的场强大小。由于小面元带负电,所以O点场强的方向是从O点指向ΔS。
解析
步骤 1：确定完整球面在球心处的电场强度
由于球面是均匀带电的，根据高斯定理，球心处的电场强度为零。这是因为球心处的电场强度是由球面上所有电荷产生的，而这些电荷产生的电场在球心处相互抵消。
步骤 2：计算挖去小面积后球心处的电场强度
挖去小面积后，球心处的电场强度不再是零，因为挖去的那部分电荷不再对球心处的电场强度产生抵消作用。挖去的这部分电荷可以看作是一个点电荷，其电荷量为 \(\Delta Q = \frac{Q}{4\pi R^2} \Delta S\)，其中 \(\frac{Q}{4\pi R^2}\) 是球面的电荷面密度。根据点电荷的电场公式，该点电荷在球心处产生的电场强度为
\[ E = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{\Delta Q}{R^2} = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{Q}{4\pi R^2} \frac{\Delta S}{R^2} = \frac{Q}{4\pi \varepsilon_0 R^2} \frac{\Delta S}{4\pi R^2} = \frac{Q \Delta S}{16\pi^2 \varepsilon_0 R^4} \]
步骤 3：确定电场强度的方向
由于挖去的那部分电荷是正电荷，因此在球心处产生的电场强度方向是从球心指向挖去的那部分电荷所在的位置，即从O点指向ΔS。
由于球面是均匀带电的，根据高斯定理，球心处的电场强度为零。这是因为球心处的电场强度是由球面上所有电荷产生的，而这些电荷产生的电场在球心处相互抵消。
步骤 2：计算挖去小面积后球心处的电场强度
挖去小面积后，球心处的电场强度不再是零，因为挖去的那部分电荷不再对球心处的电场强度产生抵消作用。挖去的这部分电荷可以看作是一个点电荷，其电荷量为 \(\Delta Q = \frac{Q}{4\pi R^2} \Delta S\)，其中 \(\frac{Q}{4\pi R^2}\) 是球面的电荷面密度。根据点电荷的电场公式，该点电荷在球心处产生的电场强度为
\[ E = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{\Delta Q}{R^2} = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{Q}{4\pi R^2} \frac{\Delta S}{R^2} = \frac{Q}{4\pi \varepsilon_0 R^2} \frac{\Delta S}{4\pi R^2} = \frac{Q \Delta S}{16\pi^2 \varepsilon_0 R^4} \]
步骤 3：确定电场强度的方向
由于挖去的那部分电荷是正电荷，因此在球心处产生的电场强度方向是从球心指向挖去的那部分电荷所在的位置，即从O点指向ΔS。