题目

3.设平面区域D由曲线 =sqrt (x)cdot sin pi x(0leqslant xleqslant 1) 与x轴围成,则D绕x轴-|||-旋转所成旋转体的体积为。

题目解答

答案

解析

本题考查定积分在求旋转体体积方面的应用。解题思路是先根据旋转体体积公式得出体积的定积分表达式，再通过换元法简化积分式子，然后利用三角函数的二倍角公式进一步化简，最后分别计算定积分得出结果。

  1. 根据旋转体体积公式列出积分表达式：
    已知平面区域$D$由曲线$y = \sqrt{x}\sin(\pi x)(0\leqslant x\leqslant 1)$与$x$轴围成，$D$绕$x$轴旋转所成旋转体的体积公式为$V=\pi\int_{a}^{b}y^{2}dx$，这里$a = 0$，$b = 1$，$y = \sqrt{x}\sin(\pi x)$，所以可得：
    $V=\pi\int_{0}^{1}(\sqrt{x}\sin(\pi x))^{2}dx=\pi\int_{0}^{1}x\sin^{2}(\pi x)dx$
  2. 进行换元：
    令$t = \pi x$，则$x=\frac{t}{\pi}$，$dx=\frac{1}{\pi}dt$。当$x = 0$时，$t = 0$；当$x = 1$时，$t = \pi$。将其代入上式可得：
    $V=\pi\int_{0}^{\pi}\frac{t}{\pi}\sin^{2}t\cdot\frac{1}{\pi}dt=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi}t\sin^{2}tdt$
  3. 利用三角函数二倍角公式化简被积函数：
    根据$\sin^{2}\alpha=\frac{1 - \cos(2\alpha)}{2}$，则$\sin^{2}t=\frac{1 - \cos(2t)}{2}$，所以：
    $V=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi}t\cdot\frac{1 - \cos(2t)}{2}dt=\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{\pi}(t - t\cos(2t))dt=\frac{1}{2\pi}(\int_{0}^{\pi}tdt - \int_{0}^{\pi}t\cos(2t)dt)$
  4. 分别计算两个定积分：
    • 计算$\int_{0}^{\pi}tdt$：
      根据定积分基本公式$\int x^n dx=\frac{x^{n + 1}}{n + 1}+C(n\neq -1)$，可得$\int_{0}^{\pi}tdt=\left[\frac{t^{2}}{2}\right]_{0}^{\pi}=\frac{\pi^{2}}{2}-0=\frac{\pi^{2}}{2}$。
    • 计算$\int_{0}^{\pi}t\cos(2t)dt$：
      使用分部积分法$\int_{a}^{b}u dv=uv|_{a}^{b}-\int_{a}^{b}v du$，令$u = t$，$dv = \cos(2t)dt$。
      则$du = dt$，$v=\frac{1}{2}\sin(2t)$，所以：
      $\int_{0}^{\pi}t\cos(2t)dt=\left[t\cdot\frac{1}{2}\sin(2t)\right]_{0}^{\pi}-\int_{0}^{\pi}\frac{1}{2}\sin(2t)dt$
      $=\left(\frac{\pi}{2}\sin(2\pi)-0\right)+\frac{1}{4}[\cos(2t)]_{0}^{\pi}$
      $=0+\frac{1}{4}(\cos(2\pi)-\cos(0))=\frac{1}{4}(1 - 1)=0$
  5. 计算旋转体体积$V$：
    将$\int_{0}^{\pi}tdt=\frac{\pi^{2}}{2}$和$\int_{0}^{\pi}t\cos(2t)dt = 0$代入$V=\frac{1}{2\pi}(\int_{0}^{\pi}tdt - \int_{0}^{\pi}t\cos(2t)dt)$可得：
    $V=\frac{1}{2\pi}(\frac{\pi^{2}}{2}-0)=\frac{\pi}{4}$