题目
2.设向量组_(1)=((1+a,1,1,1))^T, (alpha )_(2)=((2,2+a,2,2))^T,_(1)=((1+a,1,1,1))^T, (alpha )_(2)=((2,2+a,2,2))^T,问：何时它们线性相关？当线性相关时，求一个极大无关组，并把其余向量用该极大无关组线性表示
2.设向量组
问：何时它们线性相关？当线性相关时，求一个极大无关组，并把其余向量用该极大无关组线性表示
题目解答
答案
解：将向量组用矩阵表示：
设
满足
由此可得齐次线性方程组;
由此可得出对应行列式：
=
解得：
或
∴当时，
是
的一个极大无关组；
当时，此时行列式为：
∴
为的一个极大无关组，且
.
解析
步骤 1：构造矩阵并求行列式
将向量组${x}_{1}=(1+a,1,1,1)T$，${\alpha }_{2}=(2,2+a,2,2)T$，${x}_{3}=(3,3,3+a,3)T$，${\alpha }_{4}={(4,4,4,4+a)}^{T}$，用矩阵表示为：
$$
A = \begin{pmatrix}
1+a & 2 & 3 & 4 \\
1 & 2+a & 3 & 4 \\
1 & 2 & 3+a & 4 \\
1 & 2 & 3 & 4+a
\end{pmatrix}
$$
求矩阵$A$的行列式$|A|$，以确定向量组何时线性相关。
步骤 2：计算行列式
计算行列式$|A|$，得到：
$$
|A| = (a+10)a^3
$$
步骤 3：确定线性相关条件
当$|A|=0$时，向量组线性相关。因此，$a=0$或$a=-10$。
步骤 4：求极大无关组
当$a=0$时，向量组线性相关，极大无关组为${x}_{1}$。
当$a=-10$时，极大无关组为${x}_{2}$，${x}_{3}$，${x}_{4}$，且${x}_{1}=-{x}_{2}-{x}_{3}-{x}_{4}$。
将向量组${x}_{1}=(1+a,1,1,1)T$，${\alpha }_{2}=(2,2+a,2,2)T$，${x}_{3}=(3,3,3+a,3)T$，${\alpha }_{4}={(4,4,4,4+a)}^{T}$，用矩阵表示为：
$$
A = \begin{pmatrix}
1+a & 2 & 3 & 4 \\
1 & 2+a & 3 & 4 \\
1 & 2 & 3+a & 4 \\
1 & 2 & 3 & 4+a
\end{pmatrix}
$$
求矩阵$A$的行列式$|A|$，以确定向量组何时线性相关。
步骤 2：计算行列式
计算行列式$|A|$，得到：
$$
|A| = (a+10)a^3
$$
步骤 3：确定线性相关条件
当$|A|=0$时，向量组线性相关。因此，$a=0$或$a=-10$。
步骤 4：求极大无关组
当$a=0$时，向量组线性相关，极大无关组为${x}_{1}$。
当$a=-10$时，极大无关组为${x}_{2}$，${x}_{3}$，${x}_{4}$，且${x}_{1}=-{x}_{2}-{x}_{3}-{x}_{4}$。