题目
4、设L是圆周x^2+y^2=2x的正向，则oint_(L)x^3-x^2y)dx+(xy^2-y^3)dy=（ ）A. -2piB. 1.5piC. 0D. 2pi
4、设L是圆周$x^{2}+y^{2}=2x$的正向，则$\oint_{L}x^{3}-x^{2}y)dx+(xy^{2}-y^{3})dy=$（ ）
A. -2$\pi$
B. 1.5$\pi$
C. 0
D. 2$\pi$
题目解答
答案
B. 1.5$\pi$
解析
步骤 1：应用格林公式
格林公式将曲线积分转换为二重积分，对于给定的曲线积分 $\oint_{L} (x^3 - x^2 y) \, dx + (x y^2 - y^3) \, dy$，我们有
\[ \oint_{L} (x^3 - x^2 y) \, dx + (x y^2 - y^3) \, dy = \iint_{D} \left( \frac{\partial}{\partial x}(x y^2 - y^3) - \frac{\partial}{\partial y}(x^3 - x^2 y) \right) \, dA. \]
步骤 2：计算偏导数
计算偏导数，我们得到
\[ \frac{\partial}{\partial x}(x y^2 - y^3) = y^2, \]
\[ \frac{\partial}{\partial y}(x^3 - x^2 y) = -x^2. \]
因此，二重积分变为
\[ \iint_{D} (y^2 + x^2) \, dA. \]
步骤 3：转换为极坐标
圆周 $x^2 + y^2 = 2x$ 可以写为 $(x-1)^2 + y^2 = 1$，即圆心在 $(1,0)$，半径为 $1$。使用极坐标变换 $x = 1 + r\cos\theta$，$y = r\sin\theta$，我们有
\[ x^2 + y^2 = 1 + 2r\cos\theta + r^2, \]
\[ dA = r \, dr \, d\theta. \]
步骤 4：计算二重积分
计算二重积分
\[ \iint_{D} (x^2 + y^2) \, dA = \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{1} (1 + 2r\cos\theta + r^2)r \, dr \, d\theta = \int_{0}^{2\pi} \left[ \frac{r^2}{2} + \frac{2r^3\cos\theta}{3} + \frac{r^4}{4} \right]_0^1 \, d\theta = \int_{0}^{2\pi} \left( \frac{3}{4} + \frac{2\cos\theta}{3} \right) \, d\theta = \frac{3\pi}{2}. \]
格林公式将曲线积分转换为二重积分，对于给定的曲线积分 $\oint_{L} (x^3 - x^2 y) \, dx + (x y^2 - y^3) \, dy$，我们有
\[ \oint_{L} (x^3 - x^2 y) \, dx + (x y^2 - y^3) \, dy = \iint_{D} \left( \frac{\partial}{\partial x}(x y^2 - y^3) - \frac{\partial}{\partial y}(x^3 - x^2 y) \right) \, dA. \]
步骤 2：计算偏导数
计算偏导数，我们得到
\[ \frac{\partial}{\partial x}(x y^2 - y^3) = y^2, \]
\[ \frac{\partial}{\partial y}(x^3 - x^2 y) = -x^2. \]
因此，二重积分变为
\[ \iint_{D} (y^2 + x^2) \, dA. \]
步骤 3：转换为极坐标
圆周 $x^2 + y^2 = 2x$ 可以写为 $(x-1)^2 + y^2 = 1$，即圆心在 $(1,0)$，半径为 $1$。使用极坐标变换 $x = 1 + r\cos\theta$，$y = r\sin\theta$，我们有
\[ x^2 + y^2 = 1 + 2r\cos\theta + r^2, \]
\[ dA = r \, dr \, d\theta. \]
步骤 4：计算二重积分
计算二重积分
\[ \iint_{D} (x^2 + y^2) \, dA = \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{1} (1 + 2r\cos\theta + r^2)r \, dr \, d\theta = \int_{0}^{2\pi} \left[ \frac{r^2}{2} + \frac{2r^3\cos\theta}{3} + \frac{r^4}{4} \right]_0^1 \, d\theta = \int_{0}^{2\pi} \left( \frac{3}{4} + \frac{2\cos\theta}{3} \right) \, d\theta = \frac{3\pi}{2}. \]