当 f(x,y)geq 0 时，二重积分 iint_(D) f(x,y), dx , dy 的几何意义是()A. 以曲面 z = f(x,y) 为顶，区域 D 为底的曲顶柱体的体积B. 区域 D 的面积C. 曲面 z = f(x,y) 在区域 D 上的表面积D. 函数 f(x,y) 在区域 D 上的平均值

本题考查二重积分的几何意义。解题思路是根据二重积分的定义和性质，分析当被积函数 $f(x,y)\geq 0$ 时，二重积分所代表的几何图形。

根据二重积分的定义，我们可以将二重积分 $\iint_{D} f(x,y)\, dx \, dy$ 看作是对区域 $D$ 进行分割，在每个小区域 $\Delta\sigma_i$ 上取一点 $(\xi_i,\eta_i)$，然后计算 $f(\xi_i,\eta_i)\Delta\sigma_i$ 并求和，最后取极限。

当 $f(x,y)\geq 0$ 时，$f(\xi_i,\eta_i)\Delta\sigma_i$ 可以看作是以 $\Delta\sigma_i$ 为底，$f(\xi_i,\eta_i)$ 为高的小柱体的体积。当分割越来越细时，这些小柱体的体积之和就趋近于以曲面 $z = f(x,y)$ 为顶，区域 $D$ 为底的曲顶柱体的体积。

下面对每个选项进行分析：

• 选项A：由上述分析可知，当 $f(x,y)\geq 0$ 时，二重积分 $\iint_{D} f(x,y)\, dx \, dy$ 表示以曲面 $z = f(x,y)$ 为顶，区域 $D$ 为底的曲顶柱体的体积，该选项正确。
• 选项B：区域 $D$ 的面积可以表示为 $\iint_{D} 1\, dx \, dy$，只有当 $f(x,y) = 1$ 时，二重积分 $\iint_{D} f(x,y)\, dx \, dy$ 才表示区域 $D$ 的面积，该选项错误。
• 选项C：曲面 $z = f(x,y)$ 在区域 $D$ 上的表面积公式为 $S=\iint_{D} \sqrt{1 + (\frac{\partial z}{\partial x})^2 + (\frac{\partial z}{\partial y})^2}\, dx \, dy$，与本题所给的二重积分形式不同，该选项错误。
• 选项D：函数 $f(x,y)$ 在区域 $D$ 上的平均值为 $\frac{1}{S_D}\iint_{D} f(x,y)\, dx \, dy$，其中 $S_D$ 是区域 $D$ 的面积，与本题所给的二重积分形式不同，该选项错误。