例6.2.分别计算由曲线 =(x)^2(0leqslant xleqslant 1) ,直线 y=1 与y轴围成的-|||-平面图形绕x轴和y轴旋转一周所成的旋转体的体积V和V

步骤 1：计算绕x轴旋转的体积
根据旋转体体积的计算公式，绕x轴旋转的体积为：
$${V}_{x}=\pi {\int }_{a}^{b}{f}^{2}(x)dx$$
其中，$f(x)={x}^{2}$，$a=0$，$b=1$。因此，绕x轴旋转的体积为：
$${V}_{x}=\pi {\int }_{0}^{1}{({x}^{2})}^{2}dx$$
步骤 2：计算绕y轴旋转的体积
根据旋转体体积的计算公式，绕y轴旋转的体积为：
$${V}_{y}=\pi {\int }_{c}^{d}{\varphi }^{2}(y)dy$$
其中，$\varphi(y)=\sqrt{y}$，$c=0$，$d=1$。因此，绕y轴旋转的体积为：
$${V}_{y}=\pi {\int }_{0}^{1}{(\sqrt{y})}^{2}dy$$
步骤 3：计算绕x轴旋转的体积
计算绕x轴旋转的体积：
$${V}_{x}=\pi {\int }_{0}^{1}{({x}^{2})}^{2}dx=\pi {\int }_{0}^{1}{x}^{4}dx$$
$${V}_{x}=\pi \left[\dfrac{{x}^{5}}{5}\right]_{0}^{1}=\pi \left(\dfrac{1}{5}-0\right)=\dfrac{1}{5}\pi$$
步骤 4：计算绕y轴旋转的体积
计算绕y轴旋转的体积：
$${V}_{y}=\pi {\int }_{0}^{1}{(\sqrt{y})}^{2}dy=\pi {\int }_{0}^{1}ydy$$
$${V}_{y}=\pi \left[\dfrac{{y}^{2}}{2}\right]_{0}^{1}=\pi \left(\dfrac{1}{2}-0\right)=\dfrac{1}{2}\pi$$