幂级数sum _(n=1)^infty dfrac ({x)^n}(2n+3)的收敛域为 A ( -1 , 1 ) ; B [ -1 , 1 ) C ( -1 , 1 ] D [ -1 , 1 ]

步骤 1：确定收敛半径
为了确定幂级数$\sum _{n=1}^{\infty }\dfrac {{x}^{n}}{2n+3}$的收敛半径，我们使用比值判别法。比值判别法的公式是$\lim _{n\rightarrow \infty }\left|\dfrac {a_{n+1}}{a_{n}}\right|$，其中$a_{n}=\dfrac {{x}^{n}}{2n+3}$。计算这个极限，我们得到：
$\lim _{n\rightarrow \infty }\left|\dfrac {a_{n+1}}{a_{n}}\right|=\lim _{n\rightarrow \infty }\left|\dfrac {\dfrac {{x}^{n+1}}{2(n+1)+3}}{\dfrac {{x}^{n}}{2n+3}}\right|=\lim _{n\rightarrow \infty }\left|\dfrac {{x}^{n+1}}{2n+5}\cdot \dfrac {2n+3}{{x}^{n}}\right|=\lim _{n\rightarrow \infty }\left|\dfrac {x(2n+3)}{2n+5}\right|$
步骤 2：简化极限表达式
简化上述极限表达式，我们得到：
$\lim _{n\rightarrow \infty }\left|\dfrac {x(2n+3)}{2n+5}\right|=\lim _{n\rightarrow \infty }\left|x\cdot \dfrac {2n+3}{2n+5}\right|=\lim _{n\rightarrow \infty }\left|x\cdot \dfrac {2+\dfrac {3}{n}}{2+\dfrac {5}{n}}\right|=|x|\cdot \lim _{n\rightarrow \infty }\dfrac {2+\dfrac {3}{n}}{2+\dfrac {5}{n}}=|x|\cdot \dfrac {2}{2}=|x|$
步骤 3：确定收敛半径
根据比值判别法，当$\lim _{n\rightarrow \infty }\left|\dfrac {a_{n+1}}{a_{n}}\right|<1$时，幂级数收敛。因此，我们有$|x|<1$，这意味着收敛半径$R=1$。
步骤 4：检查端点
当$x=-1$时，幂级数变为$\sum _{n=1}^{\infty }\dfrac {-{1}^{n}}{2n+3}$。这是一个交错级数，根据莱布尼茨判别法，如果$\lim _{n\rightarrow \infty }\dfrac {1}{2n+3}=0$且$\dfrac {1}{2n+3}$单调递减，则级数收敛。显然，这两个条件都满足，因此当$x=-1$时，幂级数收敛。
当$x=1$时，幂级数变为$\sum _{n=1}^{\infty }\dfrac {1}{2n+3}$。这是一个正项级数，根据比较判别法，由于$\dfrac {1}{2n+3}>\dfrac {1}{2n+2}=\dfrac {1}{2}\cdot \dfrac {1}{n+1}$，而$\sum _{n=1}^{\infty }\dfrac {1}{n+1}$是发散的调和级数，因此$\sum _{n=1}^{\infty }\dfrac {1}{2n+3}$也是发散的。