(2)已知向量组a_(1)=(1,-1,0,5)^T,a_(2)=(2,0,1,4)^T,a_(3)=(3,1,2,3)^T,a_(4)=(4,2,3,a)^T,其中a是参数.求该向量组的秩与一个极大线性无关组，并将其余向量用该极大线性无关组线性表示.

考查要点：本题主要考查向量组的秩、极大线性无关组的求解，以及用极大线性无关组线性表示其他向量。关键在于通过矩阵的行变换确定向量组的线性关系，并根据参数$a$的不同取值进行分类讨论。

解题思路：

1. 构造矩阵：将向量组作为列向量构造矩阵。
2. 行变换化简：通过初等行变换将矩阵化为阶梯形，观察参数$a$对矩阵秩的影响。
3. 分类讨论：根据$a$是否为2，确定秩和极大线性无关组。
4. 线性表示：利用阶梯形矩阵中的系数，将非主元列向量用主元列向量线性表示。

破题关键：通过行变换确定主元位置，结合参数$a$的取值判断矩阵秩的变化，进而确定极大线性无关组。

将向量组$a_1, a_2, a_3, a_4$作为列向量构造矩阵：
$A = \begin{pmatrix}1 & 2 & 3 & 4 \\-1 & 0 & 1 & 2 \\0 & 1 & 2 & 3 \\5 & 4 & 3 & a\end{pmatrix}$

初等行变换过程：

1. 处理第一列：用第1行消去第2、4行的第1列元素：
   • $R2 = R2 + R1 \Rightarrow R2 = (0, 2, 4, 6)$
   • $R4 = R4 - 5R1 \Rightarrow R4 = (0, -6, -12, a-20)$
2. 处理第二列：用第2行消去第3、4行的第2列元素：
   • $R2 = \frac{1}{2}R2 \Rightarrow R2 = (0, 1, 2, 3)$
   • $R3 = R3 - R2 \Rightarrow R3 = (0, 0, 0, 0)$
   • $R4 = R4 + 6R2 \Rightarrow R4 = (0, 0, 0, a-2)$
3. 最终阶梯形：
   $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & 1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & a-2 \end{pmatrix}$

分类讨论：

1. 当$a = 2$时：

   • 第4行全为0，矩阵秩为2。
   • 极大线性无关组：主元在第1、2列，对应$a_1, a_2$。
   • 线性表示：
     • $a_3 = -a_1 + 2a_2$（由第3列元素推导）
     • $a_4 = -2a_1 + 3a_2$（由第4列元素推导）

2. 当$a \neq 2$时：

   • 第4行非零，矩阵秩为3。
   • 极大线性无关组：主元在第1、2、4列，对应$a_1, a_2, a_4$。
   • 线性表示：
     • $a_3 = -a_1 + 2a_2$（由第3列元素推导）