788 设f(x)在[0,1]上连续，(0,1)内可导，且f(0)=f(1)=0，证明：至少存在一点ξ∈(0,1)，使得2f'(ξ)=3f(ξ).
题目解答
答案
构造辅助函数 $g(x) = e^{-\frac{3}{2}x} f(x)$，则 $g(0) = g(1) = 0$。
由罗尔定理，存在 $\xi \in (0,1)$，使得 $g'(\xi) = 0$。
计算得 $g'(x) = e^{-\frac{3}{2}x} \left( f'(x) - \frac{3}{2} f(x) \right)$，
故 $g'(\xi) = e^{-\frac{3}{2}\xi} \left( f'(\xi) - \frac{3}{2} f(\xi) \right) = 0$，
由于 $e^{-\frac{3}{2}\xi} \neq 0$，得 $f'(\xi) = \frac{3}{2} f(\xi)$，即 $2f'(\xi) = 3f(\xi)$。
结论：
至少存在一点 $\xi \in (0,1)$，使得 $2f'(\xi) = 3f(\xi)$。
$\boxed{\text{存在 } \xi \in (0,1), \text{ 使得 } 2f'(\xi) = 3f(\xi)}$
解析
考查要点：本题主要考查罗尔定理的应用以及构造辅助函数的能力。题目要求通过导数与函数值的关系，证明存在性问题。
解题核心思路：
题目给出$f(0)=f(1)=0$，符合罗尔定理的条件，但直接应用罗尔定理只能得到$f'(\xi)=0$，而题目需要的是$2f'(\xi)=3f(\xi)$。因此，构造一个与$f(x)$相关的辅助函数，使其满足罗尔定理的条件，并通过导数关系转化目标等式。
破题关键点：
- 选择指数型辅助函数：通过引入指数函数$e^{kx}$，使得导数中出现$f'(x)$与$f(x)$的线性组合，从而匹配题目中的等式形式。
- 确定指数系数：通过调整指数系数$k$，使得辅助函数的导数形式与目标等式$2f'(x)=3f(x)$对应。
构造辅助函数
设辅助函数$g(x) = e^{-\frac{3}{2}x} f(x)$。
- 验证端点值：
$g(0) = e^{0} f(0) = 0$，
$g(1) = e^{-\frac{3}{2}} f(1) = 0$，
因此$g(0) = g(1) = 0$，满足罗尔定理的条件。
应用罗尔定理
由罗尔定理，存在$\xi \in (0,1)$，使得$g'(\xi) = 0$。
计算导数
求$g(x)$的导数：
$g'(x) = \frac{d}{dx} \left( e^{-\frac{3}{2}x} f(x) \right) = e^{-\frac{3}{2}x} \left( f'(x) - \frac{3}{2} f(x) \right).$
推导目标等式
令$g'(\xi) = 0$，则：
$e^{-\frac{3}{2}\xi} \left( f'(\xi) - \frac{3}{2} f(\xi) \right) = 0.$
由于$e^{-\frac{3}{2}\xi} \neq 0$，故有：
$f'(\xi) = \frac{3}{2} f(\xi) \quad \Rightarrow \quad 2f'(\xi) = 3f(\xi).$