题目
L 为抛物线 x = y^2, (0 leq y leq 1)则积分 int_(L) y , ds = ( ).A. (1)/(12) (5sqrt(5) - 1)B. (5sqrt(5) - 1)C. (1)/(12)D. (1)/(8) (5sqrt(5) - 1)
$L$ 为抛物线 $x = y^2$, ($0 \leq y \leq 1$)则积分 $\int_{L} y \, ds = (\quad)$.
A. $\frac{1}{12} (5\sqrt{5} - 1)$
B. $(5\sqrt{5} - 1)$
C. $\frac{1}{12}$
D. $\frac{1}{8} (5\sqrt{5} - 1)$
题目解答
答案
A. $\frac{1}{12} (5\sqrt{5} - 1)$
解析
步骤 1：确定弧长微分 $ds$
抛物线 $x = y^2$ 的弧长微分 $ds$ 可以通过公式 $ds = \sqrt{1 + \left(\frac{dx}{dy}\right)^2} \, dy$ 计算。由于 $x = y^2$，则 $\frac{dx}{dy} = 2y$，因此 $ds = \sqrt{1 + (2y)^2} \, dy = \sqrt{1 + 4y^2} \, dy$。
步骤 2：将曲线积分转换为定积分
根据步骤 1 的结果，曲线积分 $\int_L y \, ds$ 可以写为 $\int_0^1 y \sqrt{1 + 4y^2} \, dy$。
步骤 3：使用换元法计算定积分
令 $u = 1 + 4y^2$，则 $du = 8y \, dy$。当 $y = 0$ 时，$u = 1$；当 $y = 1$ 时，$u = 5$。因此，积分转换为 $\frac{1}{8} \int_1^5 \sqrt{u} \, du$。计算该积分，得到 $\frac{1}{8} \cdot \frac{2}{3} \left( 5\sqrt{5} - 1 \right) = \frac{1}{12} \left( 5\sqrt{5} - 1 \right)$。
抛物线 $x = y^2$ 的弧长微分 $ds$ 可以通过公式 $ds = \sqrt{1 + \left(\frac{dx}{dy}\right)^2} \, dy$ 计算。由于 $x = y^2$，则 $\frac{dx}{dy} = 2y$，因此 $ds = \sqrt{1 + (2y)^2} \, dy = \sqrt{1 + 4y^2} \, dy$。
步骤 2：将曲线积分转换为定积分
根据步骤 1 的结果，曲线积分 $\int_L y \, ds$ 可以写为 $\int_0^1 y \sqrt{1 + 4y^2} \, dy$。
步骤 3：使用换元法计算定积分
令 $u = 1 + 4y^2$，则 $du = 8y \, dy$。当 $y = 0$ 时，$u = 1$；当 $y = 1$ 时，$u = 5$。因此，积分转换为 $\frac{1}{8} \int_1^5 \sqrt{u} \, du$。计算该积分，得到 $\frac{1}{8} \cdot \frac{2}{3} \left( 5\sqrt{5} - 1 \right) = \frac{1}{12} \left( 5\sqrt{5} - 1 \right)$。