题目
5.曲面x^2+y^2-z^2=4在(2,-3,3)处的法线方程____.A. 2x-3y-3z=4B. 2x-3y-3z=-4C. (x-2)/(2)=(y+3)/(-3)=(z-3)/(-3)D. (x-2)/(2)=(y+3)/(3)=(z-3)/(3)
5.曲面$x^{2}+y^{2}-z^{2}=4$在(2,-3,3)处的法线方程____.
A. 2x-3y-3z=4
B. 2x-3y-3z=-4
C. $\frac{x-2}{2}=\frac{y+3}{-3}=\frac{z-3}{-3}$
D. $\frac{x-2}{2}=\frac{y+3}{3}=\frac{z-3}{3}$
题目解答
答案
C. $\frac{x-2}{2}=\frac{y+3}{-3}=\frac{z-3}{-3}$
解析
步骤 1：确定曲面方程和梯度
曲面方程为 $F(x, y, z) = x^2 + y^2 - z^2 - 4 = 0$。曲面在某点的法向量由该点的梯度给出，即 $\nabla F = (2x, 2y, -2z)$。
步骤 2：计算梯度在给定点的值
在点 $(2, -3, 3)$ 处，梯度为 $(4, -6, -6)$，即法向量。
步骤 3：简化法向量并写出法线方程
法向量 $(4, -6, -6)$ 可以简化为 $(2, -3, -3)$，因此法线方程为 \[ \frac{x-2}{2} = \frac{y+3}{-3} = \frac{z-3}{-3} \] 与选项 (C) 匹配。
曲面方程为 $F(x, y, z) = x^2 + y^2 - z^2 - 4 = 0$。曲面在某点的法向量由该点的梯度给出，即 $\nabla F = (2x, 2y, -2z)$。
步骤 2：计算梯度在给定点的值
在点 $(2, -3, 3)$ 处，梯度为 $(4, -6, -6)$，即法向量。
步骤 3：简化法向量并写出法线方程
法向量 $(4, -6, -6)$ 可以简化为 $(2, -3, -3)$，因此法线方程为 \[ \frac{x-2}{2} = \frac{y+3}{-3} = \frac{z-3}{-3} \] 与选项 (C) 匹配。