题目
3.设c是抛物线 ^2=x 上从 (1,-1) 到(1,1)的一段弧,则 (int )_(c)^xydx= ()-|||-A. -dfrac (4)(5) B. dfrac (4)(5) C. dfrac (2)(5) D.0
题目解答
答案
解析
步骤 1：参数化曲线
抛物线 ${y}^{2}=x$ 可以参数化为 $x=t^2$ 和 $y=t$，其中 $t$ 从 -1 变化到 1。
步骤 2：计算积分
根据参数化，$dx = 2t dt$。因此，原积分可以写为：
$$
\int_{-1}^{1} t \cdot t^2 \cdot 2t dt = \int_{-1}^{1} 2t^4 dt
$$
步骤 3：计算定积分
计算定积分 $\int_{-1}^{1} 2t^4 dt$：
$$
\int_{-1}^{1} 2t^4 dt = 2 \int_{-1}^{1} t^4 dt = 2 \left[ \frac{t^5}{5} \right]_{-1}^{1} = 2 \left( \frac{1}{5} - \frac{-1}{5} \right) = 2 \cdot \frac{2}{5} = \frac{4}{5}
$$
抛物线 ${y}^{2}=x$ 可以参数化为 $x=t^2$ 和 $y=t$，其中 $t$ 从 -1 变化到 1。
步骤 2：计算积分
根据参数化，$dx = 2t dt$。因此，原积分可以写为：
$$
\int_{-1}^{1} t \cdot t^2 \cdot 2t dt = \int_{-1}^{1} 2t^4 dt
$$
步骤 3：计算定积分
计算定积分 $\int_{-1}^{1} 2t^4 dt$：
$$
\int_{-1}^{1} 2t^4 dt = 2 \int_{-1}^{1} t^4 dt = 2 \left[ \frac{t^5}{5} \right]_{-1}^{1} = 2 \left( \frac{1}{5} - \frac{-1}{5} \right) = 2 \cdot \frac{2}{5} = \frac{4}{5}
$$