设已知两点 M_(1)(4,sqrt(2),1) 和 M_(2)(3,0,2)，计算向量 overrightarrow(M_{1)M_(2)} 的模、方向余弦和方向角。

我们已知两点：

• $ M_1(4, \sqrt{2}, 1) $
• $ M_2(3, 0, 2) $

要求向量 $ \overrightarrow{M_1M_2} $ 的模、方向余弦和方向角。

第一步：求向量 $ \overrightarrow{M_1M_2} $

向量 $ \overrightarrow{M_1M_2} $ 是从点 $ M_1 $ 指向点 $ M_2 $ 的向量，其坐标为：

$\overrightarrow{M_1M_2} = M_2 - M_1 = (3 - 4, \, 0 - \sqrt{2}, \, 2 - 1) = (-1, -\sqrt{2}, 1)$

第二步：计算向量的模（长度）

向量的模公式为：

$|\overrightarrow{M_1M_2}| = \sqrt{(-1)^2 + (-\sqrt{2})^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 2 + 1} = \sqrt{4} = 2$

第三步：求方向余弦

方向余弦是向量与三个坐标轴（$x$、$y$、$z$）正方向夹角的余弦值，计算公式为：

$\cos\alpha = \frac{x}{|\vec{v}|},\quad \cos\beta = \frac{y}{|\vec{v}|},\quad \cos\gamma = \frac{z}{|\vec{v}|}$

其中 $ \vec{v} = (-1, -\sqrt{2}, 1) $，模为 2。

所以：

• $ \cos\alpha = \frac{-1}{2} = -\frac{1}{2} $
• $ \cos\beta = \frac{-\sqrt{2}}{2} = -\frac{\sqrt{2}}{2} $
• $ \cos\gamma = \frac{1}{2} $

第四步：求方向角

方向角是向量与坐标轴正方向之间的夹角，范围为 $ 0^\circ $ 到 $ 180^\circ $（或 $ 0 $ 到 $ \pi $ 弧度）。

我们利用反余弦函数求角度：

1. $ \alpha = \arccos\left(-\frac{1}{2}\right) = 120^\circ $（因为 $ \cos 120^\circ = -\frac{1}{2} $）
2. $ \beta = \arccos\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = 135^\circ $（因为 $ \cos 135^\circ = -\frac{\sqrt{2}}{2} $）
3. $ \gamma = \arccos\left(\frac{1}{2}\right) = 60^\circ $

最终答案：

• 向量：$ \overrightarrow{M_1M_2} = (-1, -\sqrt{2}, 1) $
• 模：$ |\overrightarrow{M_1M_2}| = 2 $
• 方向余弦：
  • $ \cos\alpha = -\frac{1}{2} $
  • $ \cos\beta = -\frac{\sqrt{2}}{2} $
  • $ \cos\gamma = \frac{1}{2} $
• 方向角：
  • $ \alpha = 120^\circ $
  • $ \beta = 135^\circ $
  • $ \gamma = 60^\circ $

答案整理：

$\boxed{ \begin{aligned}&\text{模：} \quad |\overrightarrow{M_1M_2}| = 2 \\&\text{方向余弦：} \quad \cos\alpha = -\frac{1}{2},\ \cos\beta = -\frac{\sqrt{2}}{2},\ \cos\gamma = \frac{1}{2} \\&\text{方向角：} \quad \alpha = 120^\circ,\ \beta = 135^\circ,\ \gamma = 60^\circ\end{aligned} }$