题目
设A= (} 5& 0& 0 0& 2& 2 0& 2& 2 ) . ,(1)求A的特征值和特征向量;(2)求可逆阵P和对角阵A使得A与A相似.
题目解答
答案
解析
步骤 1：求特征值
特征值 $\lambda$ 通过解特征方程 $\det(A-\lambda I)=0$ 来找到。
$A-\lambda I= \left (\begin{matrix} 5-\lambda & 0& 0\\ 0& 2-\lambda & 2\\ 0& 2& 2-\lambda \end{matrix} ) \right.$
行列式是: $\det(A-\lambda I)=(5-\lambda) \left |\begin{matrix} 2-\lambda & 2\\ 2& 2-\lambda \end{matrix} | \right.$
计算 $2\times 2$ 行列式: $|\begin{matrix} 2-\lambda & 2\\ 2& 2-\lambda \end{matrix} |={(2-\lambda )}^{2}-4={\lambda }^{2}-4\lambda$
因此,特征方程是: $(5-\lambda )({\lambda }^{2}-4\lambda )=0$
这给出了特征值: ${\lambda }_{1}=5$, ${\lambda }_{2}=0$, ${\lambda }_{3}=4$
步骤 2：求特征向量
特征向量是:
1 v1= 2 3
${\lambda }_{2}=0$ : A-0I=A= $\left (\begin{matrix} 5& 0& 0\\ 0& 2& 2\\ 0& 2& 2\end{matrix} ) \right.$
系统是: $\left \{ \begin{matrix} 5{x}_{1}=0\\ 2{x}_{2}+2{x}_{3}=0\\ 2{x}_{2}+2{x}_{3}=0\end{matrix} \right.$
从第一个方程 ${x}_{1}=0$ 。从第二个方程 ${x}_{2}=-{x}_{3}$ 。设 ${x}_{3}=1$ ,则 ${x}_{2}=-1$ 。
特征向量是:
0 v2= -1 1
${\lambda }_{3}=4$ : A-4I= $\left (\begin{matrix} 1& 0& 0\\ 0& -2& 2\\ 0& 2& -2\end{matrix} ) \right.$
系统是: $\left \{ \begin{matrix} {x}_{1}=0\\ -2{x}_{2}+2{x}_{3}=0\\ 2{x}_{2}-2{x}_{3}=0\end{matrix} \right.$
从第一个方程 ${x}_{1}=0$ 。从第二个方程, ${x}_{2}={x}_{3}$ 。设 ${x}_{3}=$ $1$.,则 ${x}_{2}=1$ 。
特征向量是:
0 v3= 1 1
步骤 3：求可逆阵P和对角阵D
可逆阵P由特征向量组成，对角阵D由特征值组成。
$P= \left (\begin{matrix} 1& 0& 0\\ 2& -1& 1\\ 3& 1& 1\end{matrix} ) \right.$
$D= \left (\begin{matrix} 5& 0& 0\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 4\end{matrix} ) \right.$
特征值 $\lambda$ 通过解特征方程 $\det(A-\lambda I)=0$ 来找到。
$A-\lambda I= \left (\begin{matrix} 5-\lambda & 0& 0\\ 0& 2-\lambda & 2\\ 0& 2& 2-\lambda \end{matrix} ) \right.$
行列式是: $\det(A-\lambda I)=(5-\lambda) \left |\begin{matrix} 2-\lambda & 2\\ 2& 2-\lambda \end{matrix} | \right.$
计算 $2\times 2$ 行列式: $|\begin{matrix} 2-\lambda & 2\\ 2& 2-\lambda \end{matrix} |={(2-\lambda )}^{2}-4={\lambda }^{2}-4\lambda$
因此,特征方程是: $(5-\lambda )({\lambda }^{2}-4\lambda )=0$
这给出了特征值: ${\lambda }_{1}=5$, ${\lambda }_{2}=0$, ${\lambda }_{3}=4$
步骤 2：求特征向量
特征向量是:
1 v1= 2 3
${\lambda }_{2}=0$ : A-0I=A= $\left (\begin{matrix} 5& 0& 0\\ 0& 2& 2\\ 0& 2& 2\end{matrix} ) \right.$
系统是: $\left \{ \begin{matrix} 5{x}_{1}=0\\ 2{x}_{2}+2{x}_{3}=0\\ 2{x}_{2}+2{x}_{3}=0\end{matrix} \right.$
从第一个方程 ${x}_{1}=0$ 。从第二个方程 ${x}_{2}=-{x}_{3}$ 。设 ${x}_{3}=1$ ,则 ${x}_{2}=-1$ 。
特征向量是:
0 v2= -1 1
${\lambda }_{3}=4$ : A-4I= $\left (\begin{matrix} 1& 0& 0\\ 0& -2& 2\\ 0& 2& -2\end{matrix} ) \right.$
系统是: $\left \{ \begin{matrix} {x}_{1}=0\\ -2{x}_{2}+2{x}_{3}=0\\ 2{x}_{2}-2{x}_{3}=0\end{matrix} \right.$
从第一个方程 ${x}_{1}=0$ 。从第二个方程, ${x}_{2}={x}_{3}$ 。设 ${x}_{3}=$ $1$.,则 ${x}_{2}=1$ 。
特征向量是:
0 v3= 1 1
步骤 3：求可逆阵P和对角阵D
可逆阵P由特征向量组成，对角阵D由特征值组成。
$P= \left (\begin{matrix} 1& 0& 0\\ 2& -1& 1\\ 3& 1& 1\end{matrix} ) \right.$
$D= \left (\begin{matrix} 5& 0& 0\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 4\end{matrix} ) \right.$