题目
(3) lim _(xarrow infty )((dfrac {2x+3)(2x+1))}^x+1;
题目解答
答案
解析
步骤 1：将给定的极限表达式进行变形
给定的极限表达式为 $\lim _{x\rightarrow \infty }(\dfrac {2x+3}{2x+1})^{x+1}$。首先，将分子和分母都除以 $2x$，得到 $\lim _{x\rightarrow \infty }{(1+\dfrac {2}{2x+1})}^{x+1}$。
步骤 2：将极限表达式转换为 $e$ 的形式
观察到 $\lim _{x\rightarrow \infty }{(1+\dfrac {2}{2x+1})}^{x+1}$ 的形式类似于 $e$ 的定义 $\lim _{x\rightarrow \infty }{(1+\dfrac {1}{x})}^{x}=e$。因此，将 $\lim _{x\rightarrow \infty }{(1+\dfrac {2}{2x+1})}^{x+1}$ 转换为 $e$ 的形式，即 $\lim _{x\rightarrow \infty }{(1+\dfrac {2}{2x+1})}^{\dfrac {2x+1}{2}\cdot \dfrac {2(x+1)}{2x+1}}$。
步骤 3：计算极限
根据 $e$ 的定义，$\lim _{x\rightarrow \infty }{(1+\dfrac {2}{2x+1})}^{\dfrac {2x+1}{2}}=e$。因此，原极限表达式可以写为 $e^{\lim _{x\rightarrow \infty }\dfrac {2(x+1)}{2x+1}}$。计算 $\lim _{x\rightarrow \infty }\dfrac {2(x+1)}{2x+1}$，得到 $\lim _{x\rightarrow \infty }\dfrac {2x+2}{2x+1}=\lim _{x\rightarrow \infty }(1+\dfrac {1}{2x+1})=1$。
给定的极限表达式为 $\lim _{x\rightarrow \infty }(\dfrac {2x+3}{2x+1})^{x+1}$。首先，将分子和分母都除以 $2x$，得到 $\lim _{x\rightarrow \infty }{(1+\dfrac {2}{2x+1})}^{x+1}$。
步骤 2：将极限表达式转换为 $e$ 的形式
观察到 $\lim _{x\rightarrow \infty }{(1+\dfrac {2}{2x+1})}^{x+1}$ 的形式类似于 $e$ 的定义 $\lim _{x\rightarrow \infty }{(1+\dfrac {1}{x})}^{x}=e$。因此，将 $\lim _{x\rightarrow \infty }{(1+\dfrac {2}{2x+1})}^{x+1}$ 转换为 $e$ 的形式，即 $\lim _{x\rightarrow \infty }{(1+\dfrac {2}{2x+1})}^{\dfrac {2x+1}{2}\cdot \dfrac {2(x+1)}{2x+1}}$。
步骤 3：计算极限
根据 $e$ 的定义，$\lim _{x\rightarrow \infty }{(1+\dfrac {2}{2x+1})}^{\dfrac {2x+1}{2}}=e$。因此，原极限表达式可以写为 $e^{\lim _{x\rightarrow \infty }\dfrac {2(x+1)}{2x+1}}$。计算 $\lim _{x\rightarrow \infty }\dfrac {2(x+1)}{2x+1}$，得到 $\lim _{x\rightarrow \infty }\dfrac {2x+2}{2x+1}=\lim _{x\rightarrow \infty }(1+\dfrac {1}{2x+1})=1$。