题目

题目：4)微分方程 dfrac (dy)(dx)=dfrac (y-x)(y+x) 满足 y(1)=0

题目： $(4)\text{ 微分方程}\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{y-x}{y+x}\text{满足 }y(1)=0\text{ }$

题目解答

答案

解答： $\begin{aligned} &\text{根据微分方程 }\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{y-x}{y+x}\text{,我们可以通过分离变量的方法进行求解。} \\ &\text{将方程重写为 }\frac{y+x}{y-x}\mathrm{d}y=\mathrm{d}x\text{。} \\ &\text{对等式两边进行积分,我们得到}\int\frac{y+x}{y-x}\mathrm{d}y=\int\mathrm{d}x\text{。} \\ &\text{对左侧的积分进行处理,我们可以使用代换法。令 }u=y-x\text{,则} \\ &\mathrm{d}u=\mathrm{d}y-\mathrm{d}x\text{。} \\ &\text{将代换后的积分结果带入,我们有}\int\frac{u+x+2x}u\mathrm{d}u=\int\mathrm{d}x\text{。} \\ &\text{化简上式,我们得到}\int\left(1+\frac{3x}u\right)\mathrm{d}u=\int\mathrm{d}x\text{。} \\ &\text{将等式两边进行积分,我们得到 }u+3x\ln|u|=x+C\text{,其中 }C \\ &\text{是积分常数。} \\ &\text{回代 }u=y-x\text{,我们有 }y-x+3x\ln|y-x|=x+C\text{。} \\ &\text{移项整理,我们可以得到 }y-3x\ln|y-x|=x+C\text{。} \end{aligned}$ $\begin{aligned} &\text{利用初值条件 }y(1)=0\text{,我们将 }x=1\text{ 和 }y=0\text{ 代入上式。} \\ &\text{得到 }0-3\ln|y-1|=1+C\text{。} \\ &\text{移项整理后,我们可以求解出 }C=-3\ln|y-1|-1\text{。} \\ &\text{综上所述,原微分方程的满足初值条件 }y(1)=0\text{ 的特解为 }y- \\ &3x\ln|y-x|=x-3\ln|y-1|-1\text{。} \end{aligned}$