求下列函数的极限:-|||-(1) lim _(xarrow 0)dfrac (tan x-x)(x-sin x)

步骤 1：使用洛必达法则
由于当 $x \rightarrow 0$ 时，分子 $\tan x - x$ 和分母 $x - \sin x$ 都趋于0，因此可以使用洛必达法则。洛必达法则指出，如果 $\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)}$ 的形式是 $\frac{0}{0}$ 或 $\frac{\infty}{\infty}$，那么 $\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}$，只要后者存在或为无穷大。

步骤 2：求导
对分子和分母分别求导，得到：
$$
\lim_{x \to 0} \frac{\tan x - x}{x - \sin x} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{dx}(\tan x - x)}{\frac{d}{dx}(x - \sin x)} = \lim_{x \to 0} \frac{\sec^2 x - 1}{1 - \cos x}
$$

步骤 3：再次使用洛必达法则
由于当 $x \rightarrow 0$ 时，分子 $\sec^2 x - 1$ 和分母 $1 - \cos x$ 都趋于0，因此再次使用洛必达法则：
$$
\lim_{x \to 0} \frac{\sec^2 x - 1}{1 - \cos x} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{dx}(\sec^2 x - 1)}{\frac{d}{dx}(1 - \cos x)} = \lim_{x \to 0} \frac{2\sec^2 x \tan x}{\sin x}
$$

步骤 4：简化表达式
由于 $\sec^2 x = 1 + \tan^2 x$，因此：
$$
\lim_{x \to 0} \frac{2\sec^2 x \tan x}{\sin x} = \lim_{x \to 0} \frac{2(1 + \tan^2 x) \tan x}{\sin x} = \lim_{x \to 0} \frac{2(1 + \tan^2 x) \tan x}{\tan x} = \lim_{x \to 0} 2(1 + \tan^2 x)
$$

步骤 5：计算极限
当 $x \rightarrow 0$ 时，$\tan x \rightarrow 0$，因此：
$$
\lim_{x \to 0} 2(1 + \tan^2 x) = 2(1 + 0) = 2
$$