袋中有10个球，分别编有号码1,2,...,10,从中任取1球，设 A=取得球的号码是偶数, B=取得球的号码是奇数, C=取得球的号码小于5, 问下列运算表示什么事件：(1) Acup B; (2) AB; (3) AC; (4) overline(AC); (5) overline(AC); (6) overline(Bcup C); (7) A-C.

我们来逐步分析这道概率题。

袋中有10个球，编号为：1, 2, 3, ..., 10。从中任取一个球，样本空间为：

$S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}$

定义三个事件：

• $ A = \{取得球的号码是偶数\} = \{2, 4, 6, 8, 10\} $
• $ B = \{取得球的号码是奇数\} = \{1, 3, 5, 7, 9\} $
• $ C = \{取得球的号码小于5\} = \{1, 2, 3, 4\} $

注意：$A$ 和 $B$ 是互为补集，因为每个号码要么是偶数，要么是奇数，且没有重叠，合起来是整个样本空间。

下面我们逐个分析每个运算表示的事件。

(1) $ A \cup B $

这是事件 $A$ 与事件 $B$ 的并集，表示“取得的球是偶数或奇数”。

由于每个号码不是奇数就是偶数，所以 $A \cup B$ 包含所有可能的号码。

$A \cup B = \{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\} = S$

表示的事件是：取得球的号码是任意一个号码（必然事件）。

(2) $ AB $

这是事件 $A$ 与 $B$ 的交集，记作 $A \cap B$，表示“取得的球既是偶数又是奇数”。

但一个整数不可能既是奇数又是偶数，因此没有公共元素。

$A \cap B = \emptyset$

表示的事件是：不可能事件（取得的球号码既是偶数又是奇数）。

(3) $ AC $

这是 $A \cap C$，表示“取得的球号码既是偶数，又小于5”。

先看 $A = \{2,4,6,8,10\}$，$C = \{1,2,3,4\}$

交集为：$A \cap C = \{2,4\}$

表示的事件是：取得球的号码是小于5的偶数，即号码为2或4。

(4) $ \overline{AC} $

注意：这里 $AC$ 是 $A \cap C$，所以 $\overline{AC}$ 是 $A \cap C$ 的补集。

即：不满足“号码是偶数且小于5”的事件。

前面 $A \cap C = \{2,4\}$，所以其补集为：

$\overline{A \cap C} = S \setminus \{2,4\} = \{1,3,5,6,7,8,9,10\}$

表示的事件是：取得的球号码不是（偶数且小于5），即号码不是2或4。

也可以理解为：号码是奇数，或不小于5，或两者兼有。

(5) $ \overline{AC} $

这个和第(4)问完全一样，重复了。

所以答案也相同：

表示的事件是：取得的球号码不是2且不是4（即不属于事件 $A \cap C$）。

(6) $ \overline{B \cup C} $

先算 $B \cup C$，再取补集。

• $B = \{1,3,5,7,9\}$（奇数）
• $C = \{1,2,3,4\}$（小于5）

并集 $B \cup C = \{1,2,3,4,5,7,9\}$

（合并两个集合，去掉重复）

所以补集为：

$\overline{B \cup C} = S \setminus (B \cup C) = \{6,8,10\}$

这个集合是：既不是奇数，也不小于5 的号码。

即：是偶数且大于等于5 的号码。

表示的事件是：取得的球号码是大于等于5的偶数，即6, 8, 10。

(7) $ A - C $

集合差：$A - C = A \setminus C = \{x \mid x \in A \text{ 且 } x \notin C\}$

$A = \{2,4,6,8,10\}$，$C = \{1,2,3,4\}$

去掉 $A$ 中属于 $C$ 的元素（即2和4），剩下：

$A - C = \{6,8,10\}$

表示的事件是：取得的球号码是偶数但不小于5，即大于等于6的偶数。

最终答案总结：

(1) $ A \cup B $：必然事件，取得任意号码（样本空间）。
(2) $ AB $：不可能事件，号码既是偶数又是奇数。
(3) $ AC $：取得号码是小于5的偶数（即2或4）。
(4) $ \overline{AC} $：取得号码不是2且不是4（即不属于 $A \cap C$）。
(5) $ \overline{AC} $：同(4)，取得号码不是2且不是4。
(6) $ \overline{B \cup C} $：取得号码是6、8或10（大于等于6的偶数）。
(7) $ A - C $：取得号码是6、8或10（偶数且不小于5）。

答案框：

$\boxed{ \begin{aligned}&(1)\ \text{必然事件（取得任意号码）} \\&(2)\ \text{不可能事件（号码既是偶数又是奇数）} \\&(3)\ \text{取得号码是小于5的偶数（2或4）} \\&(4)\ \text{取得号码不是2且不是4} \\&(5)\ \text{同(4)，取得号码不是2且不是4} \\&(6)\ \text{取得号码为6、8或10} \\&(7)\ \text{取得号码为6、8或10（偶数且不小于5）}\end{aligned} }$