题目
5 判断 (2分)Ω为单位球在第5卦限的部分，则三重积分iiintlimits_(Omega)y^2dv=(pi)/(30)bigcircA.√bigcircB.×
5 判断 (2分)Ω为单位球在第5卦限的部分，则三重积分$\iiint\limits_{\Omega}y^{2}dv=\frac{\pi}{30}$
$\bigcirc$A.√
$\bigcirc$B.×
题目解答
答案
在球坐标系中，单位球在第5卦限的积分区域为 $0 \leq r \leq 1$，$\frac{\pi}{2} \leq \theta \leq \pi$，$\frac{\pi}{2} \leq \phi \leq \pi$。将 $y = r \sin \theta \sin \phi$ 代入积分，得：
\[
\iiint\limits_{\Omega} y^2 \, dv = \int_{\pi/2}^{\pi} \int_{\pi/2}^{\pi} \int_{0}^{1} r^4 \sin^3 \theta \sin^2 \phi \, dr \, d\theta \, d\phi.
\]
分别对 $r$、$\theta$、$\phi$ 积分：
\[
\int_{0}^{1} r^4 \, dr = \frac{1}{5}, \quad \int_{\pi/2}^{\pi} \sin^3 \theta \, d\theta = \frac{2}{3}, \quad \int_{\pi/2}^{\pi} \sin^2 \phi \, d\phi = \frac{\pi}{4}.
\]
结果为：
\[
\frac{1}{5} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{30}.
\]
因此，答案为 $\boxed{A}$。
解析
步骤 1：确定积分区域
单位球在第5卦限的积分区域为 $0 \leq r \leq 1$，$\frac{\pi}{2} \leq \theta \leq \pi$，$\frac{\pi}{2} \leq \phi \leq \pi$。其中，$r$ 是球坐标系中的径向距离，$\theta$ 是极角，$\phi$ 是方位角。
步骤 2：将 $y$ 表达式代入积分
在球坐标系中，$y = r \sin \theta \sin \phi$。将 $y^2$ 代入三重积分，得： \[ \iiint\limits_{\Omega} y^2 \, dv = \int_{\pi/2}^{\pi} \int_{\pi/2}^{\pi} \int_{0}^{1} r^4 \sin^3 \theta \sin^2 \phi \, dr \, d\theta \, d\phi. \]
步骤 3：分别对 $r$、$\theta$、$\phi$ 积分
对 $r$ 积分： \[ \int_{0}^{1} r^4 \, dr = \frac{1}{5}. \] 对 $\theta$ 积分： \[ \int_{\pi/2}^{\pi} \sin^3 \theta \, d\theta = \frac{2}{3}. \] 对 $\phi$ 积分： \[ \int_{\pi/2}^{\pi} \sin^2 \phi \, d\phi = \frac{\pi}{4}. \]
步骤 4：计算最终结果
将上述积分结果相乘，得： \[ \frac{1}{5} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{30}. \]
单位球在第5卦限的积分区域为 $0 \leq r \leq 1$，$\frac{\pi}{2} \leq \theta \leq \pi$，$\frac{\pi}{2} \leq \phi \leq \pi$。其中，$r$ 是球坐标系中的径向距离，$\theta$ 是极角，$\phi$ 是方位角。
步骤 2：将 $y$ 表达式代入积分
在球坐标系中，$y = r \sin \theta \sin \phi$。将 $y^2$ 代入三重积分，得： \[ \iiint\limits_{\Omega} y^2 \, dv = \int_{\pi/2}^{\pi} \int_{\pi/2}^{\pi} \int_{0}^{1} r^4 \sin^3 \theta \sin^2 \phi \, dr \, d\theta \, d\phi. \]
步骤 3：分别对 $r$、$\theta$、$\phi$ 积分
对 $r$ 积分： \[ \int_{0}^{1} r^4 \, dr = \frac{1}{5}. \] 对 $\theta$ 积分： \[ \int_{\pi/2}^{\pi} \sin^3 \theta \, d\theta = \frac{2}{3}. \] 对 $\phi$ 积分： \[ \int_{\pi/2}^{\pi} \sin^2 \phi \, d\phi = \frac{\pi}{4}. \]
步骤 4：计算最终结果
将上述积分结果相乘，得： \[ \frac{1}{5} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{30}. \]