34.设函数f(x)为连续函数，且有int_(0)^x^(2)f(t)dt=x^4+x^2，则f(2)=（）A. 0B. 2C. 3D. 5

本题主要考察定积分的导数应用及原函数的计算，关键是通过对给定积分等式求导得到函数$f(x)$的表达式，进而计算$f(2)$。

步骤1：对积分等式两边求导，得到$f(x^2)$的表达式

已知$\int_{0}^{x^2}f(t)dt=x^4+x^2$，等式左边是变上限积分，根据变上限积分求导公式：若$F(x)=\int_{a}^{g(x)}f(t)dt$，则$F'(x)=f(g(x))\cdot g'(x)$。

• 左边求导：$\frac{d}{dx}\int_{0}^{x^2}f(t)dt=f(x^2)\cdot\frac{d}{dx}(x^2)=f(x^2)\cdot2x$
• 右边求导：$\frac{d}{dx}(x^4+x^2)=4x^3+2x$

等式两边导数相等，得：
$f(x^2)\cdot2x=4x^3+2x$

步骤2：化简求解$f(u)$的表达式

设$u=x^2$（$u\geq0$），则$x=\sqrt{u}$（$x\geq0$，不影响结果），代入上式：
$f(u)\cdot2\sqrt{u}=4(\sqrt{u})^3+2\sqrt{u}$
右边化简：$4u\sqrt{u}+2\sqrt{u}=2\sqrt{u}(2u+1)$
两边同除以$2\sqrt{u}$（$\sqrt{u}\neq0$），得：
$f(u)=2u+1$

步骤3：计算$f(2)$

将$u=2$代入$f(u)=2u+1$：
$f(2)=2\times2+1=5$