[题目]-|||-1.判定下列各反常积分的收敛性,如果收敛,计算反常积分的值:-|||-(1) (int )_(1)^+infty dfrac (dx)({x)^4};-|||-(2) "d,-|||-(3) (int )_(0)^+infty (e)^-axdx(agt 0);-|||-(4) (int )_(0)^+infty dfrac (dx)((1+x)(1+{x)^2)}-|||-(5) (int )_(0)^+infty (e)^-ptsin omega tdt(pgt 0,omega gt 0)-|||-(6) (int )_(-infty )^+infty dfrac (dx)({x)^2+2x+2}-|||-(7) (int )_(0)^1dfrac (xdx)(sqrt {1-{x)^2}}-|||-(8) (int )_(0)^2dfrac (dx)({(1-x))^2};-|||-(9) (int )_(1)^2dfrac (xdx)(sqrt {x-1)}-|||-(10) (int )_(1)^edfrac (dx)(xsqrt {1-{(ln x))^2}}

考察知识

反常积分的收敛性判定及计算，包括无穷区间反常积分（积分上限//下限为无穷）和无界函数反常积分（被积函数在积分区间内有瑕点）两类。

题目解析

(1) $\int_{1}^{+\infty} \frac{dx}{x^4}{x^4}$

类型：无穷区间反常积分（上限$+\infty$）。
计算：
$$\int_{1}^{+\infty} \frac{dx}{x^4} = \lim_{t \to +\infty} \int_{1^t x^{-4}dx = \lim_{t \to +\infty} \left[ -\frac{1}{3x^3} \right]_1^t = \lim_{t \to +\infty} \left( -\frac{1}{3t^3} + \frac{1}{3} \right) = \frac{1}{3}$。 **结论**：收敛，值为$\frac{1}{3}$。 ### (2) $\int_{1}^{+\infty} \frac{dx}{\sqrt{x}}$（原题可能漏写，根据解析补全） **类型**：无穷区间反常积分（上限$+\infty$）。 **计算**： $\int_{1}^{+\infty} \frac{dx}{\sqrt{x}} = \lim_{t \to +\infty} \int1^t x^{-1/2}dx = \lim_{t \to +\infty} [2\sqrt{x}]_1^t = \lim_{t \to +\infty} (2\sqrt{t} - 2) = +\infty$。 **结论**：发散。 ### (3) $\int_{0}^{+\infty} e^{-ax}dx\ (a>0)$ **类型**：无穷区间反常积分（上限$+\infty$）。 **计算**： $\int_{0}^{+\infty} e^{-ax}dx = \lim_{t \to +\infty} \int0^t e^{-ax}dx = \lim_{t \to +\infty} \left[ -\frac{1}{a}e^{-ax} \right]_0^t = \lim_{t \to +\infty} \left( -\frac{1}{a}e^{-at} + \frac{1}{a} \right) = \frac{1}{a}$。 **结论**：收敛，值为$\frac{1}{a}$。 ### (4) $\int_{0}^{+\infty} \frac{dx}{(1+x)(1+x^2)}$ **类型**：无穷区间反常积分（上限$+\infty$）。 **计算**：部分分式分解$\frac{1}{(1+x)(1+x^2)} = \frac{1}{2}\left( \frac{1}{1+x} + \frac{1-x}{1+x^2}} \right)$，积分得： $\int \frac{dx}{(1+x)(1+x^2)} = \frac{1}{2}\left( \ln(1+x) - \frac{1}{2}\ln(1+x^2) + \arctan x \right) + C$，取极限： $\lim_{t \to +\infty} \left[ \frac{1}{4}\ln\frac{(1+x)^2}{1+x^2} + \frac{1}{2}\arctanx} \right]_0^t = \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{4}$。 **结论**：收敛，值为$\frac{\pi}{4}$。 ### (5) $\int_{0}^{+\infty} e^{-pt}\sin\omega tdt\ (p>0,\omega>0)$ **类型**：无穷区间反常积分（上限$+\infty$）。 **计算**：分部积分两次，得： $\int e^{-pt}\sin\omegat dt = -\frac{1}{p}e^{-pt}\sin\omega t - \frac{\omega}{p^2}e^{-pt}\cos\omega t + \frac{\omega^2}{p^2}\int e^{-pt}\sin\omega tdt$，解得： $\int e^{-pt}\sin\omega tdt = \frac{e^{-pt}(-p\sin\omega t - \omega\cos\omega t)}{p^2 + \omega^2} + C$，取极限： $\lim_{t \to +\infty} \left[...\]_0^{+\infty} = \frac{\omega}{p^2 + \omega^2}$。 **结论**：收敛，值为$\frac{\omega}{p^2 + \omega^2}$。 ### (6) $\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{dx}{x^2 + 2x + 2}}$ **类型**：无穷区间反常积分（上下限均为无穷）。 **计算**：配方$x^2 + 2x + 2 = (x+1)^2 + 1$，积分： $\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{dx}{(x+1)^2 + 1} = \lim_{a \to-\infty} \int_s^0 \frac{d(x+1)}{(x+1)^2 + 1} + \lim_{t \to +\infty} \int_0^t \frac{d(x+1)}{(x+1)^2 + 1}$ $= \lim_{s \to -\infty} [\arctan(x+1)]_s^0 + \lim_{t \to +\infty} [\arctan(x+1)]_0^t = \left( \frac{\pi}{4} - (-\frac00) \right) + \left( \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4} \right) = \pi$。 **结论**：收敛，值为$\pi$。 ### (7) $\int_{0}^{1} \frac{xdx}{\sqrt{1 - x^2}}$ **类型**：无界函数反常积分（瑕点$x=1$）。 **计算**：换元$u=1-x^2$，$du=-2xdx$，积分： $\int_{0}^{1} \frac{frac{xdx}{\sqrt{1-x^2}}} = -\frac{1}{2}\int_{1}^{0} u^{-1/2}du = \frac{1}{2} \cdot 2\sqrt{u} \bigg|_0^1 = 1$。 **结论**：收敛，值为$1$。 ### (8) $\int_{0}^{2} \frac{dx}{(1 - x)^2}$ **类型**：无界函数反常积分（瑕点$x=1$）。 **计算**：拆分为$\int0^1 \frac{dx}{(1-x)^2} + int1^2 \frac{dx}{(1-x)^2}，前者：$\lim_{t \to 1^-} [\frac{1}{1-x}]_0^t = +\infty$，发散。 **结论**：发散。 ### (9) $\int_{1}^{2} \frac{xdx}{\sqrt{x - 1}}$ **类型**：无界函数反常积分（瑕点$x=1$）。 **计算**：换元$ u=x-1，x=u+1，$dx=du$，积分：
$\int_{0}^{1} \frac \ \frac{u+1}{\sqrt{u}}du = \int_{0}^{1} (u^{1/2} + u^{-1/2})du = \left[ \frac{2}{3}u^{3/2} + 2u^{1/2} \right]_0^1 = \frac{2}{3} + 2 = \frac{8}{3}$。
结论：收敛，值为$\frac{frac{8}{3}}$。

(10) $\int_{1}^{e} \frac{dx}{x\sqrt{1 - (\ln x)^2}}$

类型：无界函数反常积分（瑕点$x=e$，因$\ln e=1$）。
计算：换元$u=\ln x$，$du=\frac{1}{x}dx$，积分：
$\int_{0}^{1} \frac{du}{\sqrt{1 - u^2}} = [\arcsin u]_0^1 = \frac{\pi}{2} - 0 = \frac{\pi}{2}$。
结论：收敛，值为$\frac{\pi}{2}$。