设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度为f(x,y)=}2x,0le xle 1,0le yle 1,0,其他,求Z=X+Y的概率密度f_(Z)(z).解：f_(Z)(z)=int_(-infty)^+inftyf_(X)(x,z-x)dx,由已知,被积函数的非零区域是:0≤x≤1,0≤z-x≤1,即0≤x≤1,w1≤x≤w2故,f_(Z)(z)=}int_(w3)^w42xdx,w5≤z≤w6, int_(w8)^w92xdx,w6＜z＜w7,0,其他.这里,w1=____,w2=____,w3=____,w4=____,w5=____,w6=____,w7=____,w8=____,w9=____,w10=____w11=____w12=____.

为了找到随机变量 $Z = X + Y$ 的概率密度 $f_Z(z)$，我们从联合概率密度 $f(x, y)$ 开始，使用卷积公式。卷积公式给出为： \[ f_Z(z) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(x, z-x) \, dx. \] 给定联合概率密度： \[ f(x, y) = \begin{cases} 2x, & \text{如果 } 0 \le x \le 1 \text{ 且 } 0 \le y \le 1, \\ 0, & \text{其他情况}, \end{cases} \] 被积函数 $f(x, z-x)$ 的非零区域由以下条件确定： \[ 0 \le x \le 1 \quad \text{和} \quad 0 \le z-x \le 1. \] 这可以重写为： \[ 0 \le x \le 1 \quad \text{和} \quad z-1 \le x \le z. \] 我们需要考虑 $z$ 的不同情况来找到积分的极限。 **情况1: $0 \le z \le 1$** 在这种情况下，$z-1 \le 0$，因此 $x$ 的积分极限是从 $0$ 到 $z$。因此，我们有： \[ f_Z(z) = \int_{0}^{z} 2x \, dx = \left[ x^2 \right]_{0}^{z} = z^2. \] **情况2: $1 < z \le 2$** 在这种情况下，$z-1 \ge 0$，因此 $x$ 的积分极限是从 $z-1$ 到 $1$。因此，我们有： \[ f_Z(z) = \int_{z-1}^{1} 2x \, dx = \left[ x^2 \right]_{z-1}^{1} = 1 - (z-1)^2 = 1 - (z^2 - 2z + 1) = 2z - z^2. \] **情况3: $z < 0$ 或 $z > 2$** 在这种情况下，被积函数到处都是零，因此： \[ f_Z(z) = 0. \] 结合这些结果，$Z$ 的概率密度函数为： \[ f_Z(z) = \begin{cases} z^2, & \text{如果 } 0 \le z \le 1, \\ 2z - z^2, & \text{如果 } 1 < z \le 2, \\ 0, & \text{其他情况}. \end{cases} \] 将此与给定的格式进行比较，我们有： \[ w1 = 0, \quad w2 = 1, \quad w3 = 0, \quad w4 = z, \quad w5 = 0, \quad w6 = 1, \quad w7 = 2, \quad w8 = z-1, \quad w9 = 1, \quad w10 = 2, \quad w11 = 2, \quad w12 = 2. \] 因此，答案是： \[ \boxed{0, 1, 0, z, 0, 1, 2, z-1, 1, 2, 2, 2}. \]