题目
讨论(x)=dfrac (x)(1-{e)^dfrac (x{1-x)}}的连续性并指出间断点类型.
讨论
的连续性并指出间断点类型.
题目解答
答案
由于是初等函数，则除
处处连续，
当
时，
，则为函数
的可去间断点；当
时，
，
，则为函数的跳跃间断点。
解析
步骤 1：确定函数的定义域
函数$f(x)=\dfrac {x}{1-{e}^{\dfrac {x}{1-x}}}$的定义域为$x\neq 1$，因为当$x=1$时，分母为零，函数无定义。
步骤 2：分析函数在$x=0$处的连续性
当$x=0$时，函数$f(x)$的值为$f(0)=\dfrac {0}{1-{e}^{\dfrac {0}{1-0}}}=0$。同时，$\lim _{x\rightarrow 0}f(x)=\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {x}{1-{e}^{\dfrac {x}{1-x}}}=\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {x}{-\dfrac {x}{1-x}}=\lim _{x\rightarrow 0}(x-1)=-1$。由于$\lim _{x\rightarrow 0}f(x)\neq f(0)$，所以$x=0$是函数$f(x)$的可去间断点。
步骤 3：分析函数在$x=1$处的连续性
当$x=1$时，函数$f(x)$无定义。同时，$\lim _{x\rightarrow {1}^{-}}f(x)=\lim _{x\rightarrow {1}^{-}}\dfrac {x}{1-{e}^{\dfrac {x}{1-x}}}=0$，$\lim _{x\rightarrow {1}^{+}}f(x)=\lim _{x\rightarrow {1}^{+}}\dfrac {x}{1-{e}^{\dfrac {x}{1-x}}}=1$。由于$\lim _{x\rightarrow {1}^{-}}f(x)\neq \lim _{x\rightarrow {1}^{+}}f(x)$，所以$x=1$是函数$f(x)$的跳跃间断点。
函数$f(x)=\dfrac {x}{1-{e}^{\dfrac {x}{1-x}}}$的定义域为$x\neq 1$，因为当$x=1$时，分母为零，函数无定义。
步骤 2：分析函数在$x=0$处的连续性
当$x=0$时，函数$f(x)$的值为$f(0)=\dfrac {0}{1-{e}^{\dfrac {0}{1-0}}}=0$。同时，$\lim _{x\rightarrow 0}f(x)=\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {x}{1-{e}^{\dfrac {x}{1-x}}}=\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {x}{-\dfrac {x}{1-x}}=\lim _{x\rightarrow 0}(x-1)=-1$。由于$\lim _{x\rightarrow 0}f(x)\neq f(0)$，所以$x=0$是函数$f(x)$的可去间断点。
步骤 3：分析函数在$x=1$处的连续性
当$x=1$时，函数$f(x)$无定义。同时，$\lim _{x\rightarrow {1}^{-}}f(x)=\lim _{x\rightarrow {1}^{-}}\dfrac {x}{1-{e}^{\dfrac {x}{1-x}}}=0$，$\lim _{x\rightarrow {1}^{+}}f(x)=\lim _{x\rightarrow {1}^{+}}\dfrac {x}{1-{e}^{\dfrac {x}{1-x}}}=1$。由于$\lim _{x\rightarrow {1}^{-}}f(x)\neq \lim _{x\rightarrow {1}^{+}}f(x)$，所以$x=1$是函数$f(x)$的跳跃间断点。