题目
设 X、Y 是两个相互独立的随机变量，且都服从区间 [0, 1] 上的均匀分布，则方程 X^2 + Xx + y = 0 有实根的概率为A. (1)/(11)B. (1)/(13)C. (1)/(12)D. (1)/(15)
设 X、Y 是两个相互独立的随机变量，且都服从区间 [0, 1] 上的均匀分布，则方程 $X^2 + Xx + y = 0$ 有实根的概率为
A. $\frac{1}{11}$
B. $\frac{1}{13}$
C. $\frac{1}{12}$
D. $\frac{1}{15}$
题目解答
答案
C. $\frac{1}{12}$
解析
步骤 1：确定方程有实根的条件
方程 $X^2 + Xx + Y = 0$ 有实根当且仅当判别式 $\Delta = X^2 - 4Y \geq 0$。因此，我们需要 $Y \leq \frac{X^2}{4}$。
步骤 2：计算概率
由于 $X$ 和 $Y$ 是在区间 $[0,1]$ 上相互独立的均匀随机变量，$X$ 和 $Y$ 的联合概率密度函数在单位正方形 $[0,1] \times [0,1]$ 上为1。方程 $X^2 + Xx + Y = 0$ 有实根的概率是单位正方形内 $Y \leq \frac{X^2}{4}$ 的区域的面积。这个面积由积分给出： \[ \int_0^1 \frac{X^2}{4} \, dX \] 计算这个积分，我们得到： \[ \int_0^1 \frac{X^2}{4} \, dX = \frac{1}{4} \int_0^1 X^2 \, dX = \frac{1}{4} \left[ \frac{X^3}{3} \right]_0^1 = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{12} \]
步骤 3：确定正确答案
根据计算结果，方程 $X^2 + Xx + Y = 0$ 有实根的概率是 $\frac{1}{12}$。因此，正确答案是 $\boxed{C}$。
方程 $X^2 + Xx + Y = 0$ 有实根当且仅当判别式 $\Delta = X^2 - 4Y \geq 0$。因此，我们需要 $Y \leq \frac{X^2}{4}$。
步骤 2：计算概率
由于 $X$ 和 $Y$ 是在区间 $[0,1]$ 上相互独立的均匀随机变量，$X$ 和 $Y$ 的联合概率密度函数在单位正方形 $[0,1] \times [0,1]$ 上为1。方程 $X^2 + Xx + Y = 0$ 有实根的概率是单位正方形内 $Y \leq \frac{X^2}{4}$ 的区域的面积。这个面积由积分给出： \[ \int_0^1 \frac{X^2}{4} \, dX \] 计算这个积分，我们得到： \[ \int_0^1 \frac{X^2}{4} \, dX = \frac{1}{4} \int_0^1 X^2 \, dX = \frac{1}{4} \left[ \frac{X^3}{3} \right]_0^1 = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{12} \]
步骤 3：确定正确答案
根据计算结果，方程 $X^2 + Xx + Y = 0$ 有实根的概率是 $\frac{1}{12}$。因此，正确答案是 $\boxed{C}$。