题目
向量组α1=(1,1+t,0),α2=(1,2,0),α3=(0,0,t2+1)线性相关,则t=( ).A. 一1;B. 0;C. 1;D. 2.
向量组α1=(1,1+t,0),α2=(1,2,0),α3=(0,0,t2+1)线性相关,则t=( ).
A. 一1;
B. 0;
C. 1;
D. 2.
题目解答
答案
C. 1;
解析
步骤 1：构造矩阵
构造一个矩阵，其列向量为向量组α1, α2, α3。矩阵如下：
\[ A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1+t & 2 & 0 \\ 0 & 0 & t^2+1 \end{pmatrix} \]
步骤 2：计算行列式
向量组线性相关的充要条件是矩阵A的行列式为0。计算行列式：
\[ \det(A) = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1+t & 2 & 0 \\ 0 & 0 & t^2+1 \end{vmatrix} \]
\[ = (t^2+1) \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1+t & 2 \end{vmatrix} \]
\[ = (t^2+1) \left( 1 \cdot 2 - 1 \cdot (1+t) \right) \]
\[ = (t^2+1) (2 - 1 - t) \]
\[ = (t^2+1) (1 - t) \]
步骤 3：求解方程
令行列式等于0，求解t的值：
\[ (t^2+1) (1 - t) = 0 \]
由于\(t^2+1\)恒不为0，因此：
\[ 1 - t = 0 \]
\[ t = 1 \]
构造一个矩阵，其列向量为向量组α1, α2, α3。矩阵如下：
\[ A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1+t & 2 & 0 \\ 0 & 0 & t^2+1 \end{pmatrix} \]
步骤 2：计算行列式
向量组线性相关的充要条件是矩阵A的行列式为0。计算行列式：
\[ \det(A) = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1+t & 2 & 0 \\ 0 & 0 & t^2+1 \end{vmatrix} \]
\[ = (t^2+1) \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1+t & 2 \end{vmatrix} \]
\[ = (t^2+1) \left( 1 \cdot 2 - 1 \cdot (1+t) \right) \]
\[ = (t^2+1) (2 - 1 - t) \]
\[ = (t^2+1) (1 - t) \]
步骤 3：求解方程
令行列式等于0，求解t的值：
\[ (t^2+1) (1 - t) = 0 \]
由于\(t^2+1\)恒不为0，因此：
\[ 1 - t = 0 \]
\[ t = 1 \]