lim ((1+3x))^dfrac (1{x)};

考查要点：本题主要考查极限的计算，特别是利用自然对数的极限形式求解形如$(1+ax)^{1/x}$的极限问题。

解题核心思路：

1. 识别标准极限形式：当$x \to 0$时，$\lim_{x \to 0} (1+kx)^{1/x} = e^k$，其中$k$为常数。
2. 变形匹配标准形式：将原式通过指数变形，转化为上述标准形式。
3. 对数法辅助计算：若直接应用标准形式困难，可取对数后利用洛必达法则求解。

破题关键点：

• 关键变形：将指数$\frac{1}{x}$调整为$\frac{3}{3x}$，使底数$(1+3x)$的增量部分$3x$与指数分母一致。
• 对数转换：通过取对数将乘积转化为加法，简化极限计算。

步骤1：变形匹配标准极限形式
原式为$\lim_{x \to 0} (1+3x)^{1/x}$，可改写为：
$\lim_{x \to 0} \left[(1+3x)^{\frac{1}{3x}}\right]^3$
此时底数部分$(1+3x)^{\frac{1}{3x}}$符合标准极限形式$\lim_{t \to 0} (1+t)^{1/t} = e$，因此：
$\lim_{x \to 0} (1+3x)^{\frac{1}{3x}} = e$
进一步得到：
$\lim_{x \to 0} (1+3x)^{1/x} = e^3$

步骤2：对数法验证
设$L = \lim_{x \to 0} (1+3x)^{1/x}$，取自然对数得：
$\ln L = \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+3x)}{x}$
应用洛必达法则（分子分母均趋近于0）：
$\ln L = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{dx} \ln(1+3x)}{\frac{d}{dx} x} = \lim_{x \to 0} \frac{3}{1+3x} = 3$
因此：
$L = e^{\ln L} = e^3$