2.如果x→0时,要使无穷小 (1-cos x) 与 (sin )^2dfrac (x)(2) 等价,求a的值.

考查要点：本题主要考查等价无穷小的定义及替换规则，以及利用泰勒展开或等价无穷小替换求解参数的能力。

解题核心思路：
当$x \to 0$时，两个无穷小等价的条件是它们的比值的极限为1。因此，需要将$(1 - \cos x)$和$a \sin^2 \frac{x}{2}$展开或替换为等价形式，通过比较系数确定$a$的值。

破题关键点：

1. 等价无穷小替换：利用$1 - \cos x \sim \frac{x^2}{2}$和$\sin \frac{x}{2} \sim \frac{x}{2}$简化表达式。
2. 比值极限为1：将替换后的表达式代入比值，解方程求$a$。

步骤1：写出等价无穷小替换
当$x \to 0$时：

• $1 - \cos x \sim \frac{x^2}{2}$
• $\sin \frac{x}{2} \sim \frac{x}{2}$，因此$\sin^2 \frac{x}{2} \sim \left( \frac{x}{2} \right)^2 = \frac{x^2}{4}$

步骤2：建立比值极限方程
根据等价无穷小定义，有：
$\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{a \sin^2 \frac{x}{2}} = 1$
将替换后的表达式代入：
$\lim_{x \to 0} \frac{\frac{x^2}{2}}{a \cdot \frac{x^2}{4}} = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{a}{4}} = \frac{2}{a} = 1$

步骤3：解方程求$a$
由$\frac{2}{a} = 1$，解得：
$a = 2$