题目
设随机变量X sim F(x), F(x)= 1 - (1 + x)e^-x, x geq 0; F(x)= 0, x A. PX leq 1 = 1 - (1)/(e)B. 随机变量X的密度函数为f(x)= xe^-x, x geq 0; f(x)= 0, x C. 随机变量X的密度函数为f(x)= 0.5xe^-x, x geq 0; f(x)= 0, x D. PX leq 1 = 1 - (3)/(e)
设随机变量$X \sim F(x)$, $F(x)= 1 - (1 + x)e^{-x}$, $x \geq 0$; $F(x)= 0$, $x < 0$. 那么下面说法正确的是(）
A. $P\{X \leq 1\} = 1 - \frac{1}{e}$
B. 随机变量X的密度函数为$f(x)= xe^{-x}$, $x \geq 0$; $f(x)= 0$, $x < 0$.
C. 随机变量X的密度函数为$f(x)= 0.5xe^{-x}$, $x \geq 0$; $f(x)= 0$, $x < 0$
D. $P\{X \leq 1\} = 1 - \frac{3}{e}$
题目解答
答案
B. 随机变量X的密度函数为$f(x)= xe^{-x}$, $x \geq 0$; $f(x)= 0$, $x < 0$.
解析
步骤 1：计算 $P\{X \leq 1\}$
根据分布函数 $F(x)$，计算 $P\{X \leq 1\}$： $$ F(1) = 1 - (1+1)e^{-1} = 1 - \frac{2}{e} $$ 选项A、D均与结果不符，排除。
步骤 2：求密度函数 $f(x)$
求密度函数 $f(x)$： $$ f(x) = \frac{d}{dx}F(x) = \begin{cases} xe^{-x}, & x \geq 0 \\ 0, & x < 0 \end{cases} $$ 与选项B一致，选项C不符。
根据分布函数 $F(x)$，计算 $P\{X \leq 1\}$： $$ F(1) = 1 - (1+1)e^{-1} = 1 - \frac{2}{e} $$ 选项A、D均与结果不符，排除。
步骤 2：求密度函数 $f(x)$
求密度函数 $f(x)$： $$ f(x) = \frac{d}{dx}F(x) = \begin{cases} xe^{-x}, & x \geq 0 \\ 0, & x < 0 \end{cases} $$ 与选项B一致，选项C不符。