题目
设f(x)=dfrac (sin x+{e)^2ax-1}(x) neq 0-|||-__-|||-cdot , x=0在x=0处连续,则a=_________。正确答案:一1
设f(x)=
在x=0处连续,则a=_________。
正确答案:一1
题目解答
答案
解析:
f(x)=f(0)
=a
a= —1
解析
步骤 1：确定函数在x=0处的连续性条件
函数f(x)在x=0处连续，意味着当x趋近于0时，f(x)的极限值等于f(0)的值。即$\lim _{x\rightarrow 0}f(x)=f(0)$。
步骤 2：计算函数在x=0处的极限值
根据题目，当$x\neq 0$时，$f(x)=\sin x+e^{2ax}-1$。因此，我们需要计算$\lim _{x\rightarrow 0}(\sin x+e^{2ax}-1)$。由于$\sin x$在x=0处的极限值为0，$e^{2ax}$在x=0处的极限值为1，因此$\lim _{x\rightarrow 0}(\sin x+e^{2ax}-1)=\lim _{x\rightarrow 0}e^{2ax}-1$。
步骤 3：利用洛必达法则计算极限值
由于$\lim _{x\rightarrow 0}e^{2ax}-1$是0/0型不定式，可以使用洛必达法则。对分子和分母同时求导，得到$\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {e^{2ax}-1}{x}=\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {2ae^{2ax}}{1}=2a$。因此，$\lim _{x\rightarrow 0}f(x)=2a$。
步骤 4：确定a的值
由于函数在x=0处连续，所以$\lim _{x\rightarrow 0}f(x)=f(0)$。根据题目，$f(0)=a$。因此，$2a=a$，解得$a=-1$。
函数f(x)在x=0处连续，意味着当x趋近于0时，f(x)的极限值等于f(0)的值。即$\lim _{x\rightarrow 0}f(x)=f(0)$。
步骤 2：计算函数在x=0处的极限值
根据题目，当$x\neq 0$时，$f(x)=\sin x+e^{2ax}-1$。因此，我们需要计算$\lim _{x\rightarrow 0}(\sin x+e^{2ax}-1)$。由于$\sin x$在x=0处的极限值为0，$e^{2ax}$在x=0处的极限值为1，因此$\lim _{x\rightarrow 0}(\sin x+e^{2ax}-1)=\lim _{x\rightarrow 0}e^{2ax}-1$。
步骤 3：利用洛必达法则计算极限值
由于$\lim _{x\rightarrow 0}e^{2ax}-1$是0/0型不定式，可以使用洛必达法则。对分子和分母同时求导，得到$\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {e^{2ax}-1}{x}=\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {2ae^{2ax}}{1}=2a$。因此，$\lim _{x\rightarrow 0}f(x)=2a$。
步骤 4：确定a的值
由于函数在x=0处连续，所以$\lim _{x\rightarrow 0}f(x)=f(0)$。根据题目，$f(0)=a$。因此，$2a=a$，解得$a=-1$。