10、设f(x)在[0,2a]连续,且 (0)=f(2a), 证明:在[0,a]上至少存在一点ξ,使-|||-(xi )=f(xi +a)

考查要点：本题主要考查连续函数的性质，特别是零点定理的应用。关键在于构造适当的辅助函数，利用函数在区间端点处的值关系，推导出零点的存在性。

解题核心思路：

1. 构造辅助函数 $\varphi(x) = f(x+a) - f(x)$，将原问题转化为证明该函数在区间$[0,a]$上至少有一个零点。
2. 分析端点值 $\varphi(0)$ 和 $\varphi(a)$ 的关系，结合题设条件 $f(0) = f(2a)$，得出 $\varphi(a) = -\varphi(0)$。
3. 分类讨论：若 $\varphi(0) = 0$，直接得解；若 $\varphi(0) \neq 0$，则利用零点定理保证中间存在零点。

构造辅助函数

定义函数 $\varphi(x) = f(x+a) - f(x)$，其中 $x \in [0,a]$。

• 由于 $f(x)$ 在 $[0,2a]$ 上连续，且 $x+a \in [a,2a]$，因此 $\varphi(x)$ 在 $[0,a]$ 上连续。

计算端点值

• 当 $x=0$ 时：
  $\varphi(0) = f(a) - f(0)$
• 当 $x=a$ 时：
  $\varphi(a) = f(2a) - f(a) = f(0) - f(a) = -\varphi(0)$
  （因为 $f(2a) = f(0)$）

分情况讨论

1. 若 $\varphi(0) = 0$：
   此时 $f(a) = f(0)$，即 $x=0$ 或 $x=a$ 满足 $f(x) = f(x+a)$，结论成立。
2. 若 $\varphi(0) \neq 0$：
   • 由于 $\varphi(0)$ 与 $\varphi(a)$ 符号相反（$\varphi(a) = -\varphi(0)$），根据零点定理，在 $(0,a)$ 内至少存在一点 $\xi$，使得 $\varphi(\xi) = 0$，即 $f(\xi) = f(\xi+a)$。