4.(2021·新高考卷II)已知函数f(x)的定义域为R,f(x+2)为偶函数,f(2x+1)为奇函数,则（A. f(-1/2)=0B. f(-1)=0C. f(2)=0D. f(4)=0

考查要点：本题主要考查函数的奇偶性、对称性及其综合应用。需要结合偶函数和奇函数的定义，推导出函数在特定点的函数值。

解题核心思路：

1. 利用偶函数性质：由$f(x+2)$为偶函数，得出$f(2+x)=f(2-x)$，即函数$f(x)$关于直线$x=2$对称。
2. 利用奇函数性质：由$f(2x+1)$为奇函数，得出$f(1+x)=-f(1-x)$，即函数$f(x)$关于点$(1,0)$中心对称。
3. 联立对称性条件：通过联立上述对称性，推导出特定点的函数值。

破题关键点：

• 联立对称性：结合关于$x=2$的轴对称和关于$(1,0)$的中心对称，找到函数值为零的点。
• 特殊值代入：通过代入特定值（如$a=2$）联立方程，直接得出$f(-1)=0$。

条件分析

1. 偶函数条件：
   $f(x+2)$为偶函数，即$f(2+x)=f(2-x)$，说明$f(x)$关于直线$x=2$对称。

2. 奇函数条件：
   $f(2x+1)$为奇函数，即$f(1+x)=-f(1-x)$，说明$f(x)$关于点$(1,0)$中心对称。

联立对称性推导

1. 由奇函数条件得$f(1)=0$：
   令$x=0$，代入$f(1+x)=-f(1-x)$，得$f(1)=-f(1)$，故$f(1)=0$。

2. 结合轴对称性求$f(3)$：
   根据$f(2+x)=f(2-x)$，令$x=1$，得$f(3)=f(1)=0$。

3. 联立对称性求$f(-1)$：
   根据$f(1+x)=-f(1-x)$，令$x=2$，得$f(3)=-f(-1)$。
   已知$f(3)=0$，故$0=-f(-1)$，即$f(-1)=0$。