计算下列积分:(3) int (ln )^2(x+sqrt (1+{x)^2})dx ;

考查要点：本题主要考查分部积分法的应用，以及对复杂被积函数的化简能力。关键在于识别被积函数的结构，并通过两次分部积分逐步简化积分表达式。

解题核心思路：

1. 观察被积函数形式：被积函数为$\ln^2(x+\sqrt{1+x^2})$，属于复合函数的平方形式，适合用分部积分法。
2. 分部积分的选择：第一次分部积分时，设$u = \ln^2(x+\sqrt{1+x^2})$，$dv = dx$，将高阶函数降阶。
3. 二次分部积分：剩余积分中再次使用分部积分，需灵活选择新的$u$和$dv$，并结合代数化简完成计算。

破题关键点：

• 导数计算：正确求导$\ln(x+\sqrt{1+x^2})$，发现其导数为$\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$，简化后续步骤。
• 积分替换：通过替换$\sqrt{1+x^2}$，将复杂分式转化为基本积分形式。

第（3）题

第一步：第一次分部积分

设$u = \ln^2(x+\sqrt{1+x^2})$，$dv = dx$，则：
$\begin{aligned}du &= 2\ln(x+\sqrt{1+x^2}) \cdot \frac{1}{\sqrt{1+x^2}} dx, \\v &= x.\end{aligned}$
根据分部积分公式$\int u \, dv = uv - \int v \, du$，得：
$\int \ln^2(x+\sqrt{1+x^2}) dx = x\ln^2(x+\sqrt{1+x^2}) - \int \frac{2x \ln(x+\sqrt{1+x^2})}{\sqrt{1+x^2}} dx.$

第二步：处理剩余积分

对$\int \frac{2x \ln(x+\sqrt{1+x^2})}{\sqrt{1+x^2}} dx$再次使用分部积分：
设$u = \ln(x+\sqrt{1+x^2})$，$dv = \frac{2x}{\sqrt{1+x^2}} dx$，则：
$\begin{aligned}du &= \frac{1}{\sqrt{1+x^2}} dx, \\v &= 2\sqrt{1+x^2}.\end{aligned}$
分部积分得：
$\begin{aligned}\int \frac{2x \ln(x+\sqrt{1+x^2})}{\sqrt{1+x^2}} dx &= 2\sqrt{1+x^2} \ln(x+\sqrt{1+x^2}) - \int 2\sqrt{1+x^2} \cdot \frac{1}{\sqrt{1+x^2}} dx \\&= 2\sqrt{1+x^2} \ln(x+\sqrt{1+x^2}) - 2x + C.\end{aligned}$

第三步：合并结果

将两次分部积分的结果代入原式，最终得到：
$\begin{aligned}\int \ln^2(x+\sqrt{1+x^2}) dx &= x\ln^2(x+\sqrt{1+x^2}) - \left[ 2\sqrt{1+x^2} \ln(x+\sqrt{1+x^2}) - 2x \right] + C \\&= x\ln^2(x+\sqrt{1+x^2}) - 2\sqrt{1+x^2} \ln(x+\sqrt{1+x^2}) + 2x + C.\end{aligned}$