2.设 lt b ,证明: ^a(b-a)lt (e)^b-(e)^alt (e)^b(b-a) .

步骤 1：定义函数
定义函数 $f(x) = e^x$，这是一个在实数域上连续且可导的函数。
步骤 2：应用拉格朗日中值定理
根据拉格朗日中值定理，对于函数 $f(x)$ 在区间 $[a, b]$ 上，存在一个点 $c \in (a, b)$，使得 $f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$。
步骤 3：计算导数
计算 $f(x)$ 的导数 $f'(x) = e^x$。
步骤 4：应用导数
将 $f'(x)$ 代入拉格朗日中值定理的公式中，得到 $e^c = \frac{e^b - e^a}{b - a}$。
步骤 5：利用 $a < c < b$
由于 $a < c < b$，可以得到 $e^a < e^c < e^b$。
步骤 6：推导不等式
将 $e^c$ 的范围代入 $e^c = \frac{e^b - e^a}{b - a}$，得到 $e^a < \frac{e^b - e^a}{b - a} < e^b$。
步骤 7：整理不等式
将不等式两边同时乘以 $(b - a)$，得到 $e^a(b - a) < e^b - e^a < e^b(b - a)$。