若两个向量组等价,则它们的秩相等。这个正确还是错误。A. 对B. 错

本题考查向量组等价与向量组秩的关系这一知识点。解题思路是依据向量组等价的定义以及向量组秩的性质来判断该命题的正确性。

详细解析

• 向量组等价的定义：设向量组$A:\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s$和向量组$B:\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_t$，若向量组$A$中的每一个向量都能由向量组$B$线性表示，同时向量组$B$中的每一个向量也都能由向量组$A$线性表示，则称向量组$A$与向量组$B$等价。
• 向量组秩的性质：若向量组$A$能由向量组$B$线性表示，则$r(A)\leq r(B)$。这里$r(A)$表示向量组$A$的秩，$r(B)$表示向量组$B$的秩。
• 结合等价定义和秩的性质进行推理：
  • 因为向量组$A$与向量组$B$等价，所以向量组$A$能由向量组$B$线性表示，根据上述秩的性质可得$r(A)\leq r(B)$。
  • 同时，向量组$B$也能由向量组$A$线性表示，同理可得$r(B)\leq r(A)$。
  • 由$r(A)\leq r(B)$且$r(B)\leq r(A)$，根据不等式的性质，可推出$r(A)=r(B)$。

综上，“若两个向量组等价，则它们的秩相等”这一命题是正确的。