题目
微分方程 (dy)/(dx) + y = e^-x 通解为 (……)A. y = e^-x(x + C)B. y = -e^x(x + C)C. y = e^x(x + C)D. y = -e^-x(x + C)
微分方程 $\frac{dy}{dx} + y = e^{-x}$ 通解为 (……)
A. $y = e^{-x}(x + C)$
B. $y = -e^x(x + C)$
C. $y = e^x(x + C)$
D. $y = -e^{-x}(x + C)$
题目解答
答案
A. $y = e^{-x}(x + C)$
解析
步骤 1：确定微分方程类型
微分方程 $\frac{dy}{dx} + y = e^{-x}$ 是一阶线性微分方程，因为它可以写成标准形式 $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$，其中 $P(x) = 1$，$Q(x) = e^{-x}$。
步骤 2：使用通解公式
一阶线性微分方程的通解公式为 $y = e^{-\int P(x)dx} \left[ \int Q(x)e^{\int P(x)dx}dx + C \right]$。将 $P(x)$ 和 $Q(x)$ 的值代入公式中。
步骤 3：计算积分
计算 $\int P(x)dx = \int 1 dx = x$，因此 $e^{\int P(x)dx} = e^x$。然后计算 $\int Q(x)e^{\int P(x)dx}dx = \int e^{-x}e^x dx = \int 1 dx = x$。
步骤 4：代入通解公式
将计算结果代入通解公式中，得到 $y = e^{-x}(x + C)$。
微分方程 $\frac{dy}{dx} + y = e^{-x}$ 是一阶线性微分方程，因为它可以写成标准形式 $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$，其中 $P(x) = 1$，$Q(x) = e^{-x}$。
步骤 2：使用通解公式
一阶线性微分方程的通解公式为 $y = e^{-\int P(x)dx} \left[ \int Q(x)e^{\int P(x)dx}dx + C \right]$。将 $P(x)$ 和 $Q(x)$ 的值代入公式中。
步骤 3：计算积分
计算 $\int P(x)dx = \int 1 dx = x$，因此 $e^{\int P(x)dx} = e^x$。然后计算 $\int Q(x)e^{\int P(x)dx}dx = \int e^{-x}e^x dx = \int 1 dx = x$。
步骤 4：代入通解公式
将计算结果代入通解公式中，得到 $y = e^{-x}(x + C)$。