题目
2、 下列函数中为奇函数的是 ()-|||-(A) =(sin )^2x-|||-(B) =xcos x-|||-(C) =sin x+cos x-|||-(D) =(e)^x 公
题目解答
答案
B. $y=x\cos x$
解析
步骤 1：定义奇函数
奇函数的定义是：如果对于函数$f(x)$，对于所有定义域内的$x$，都有$f(-x)=-f(x)$，则称$f(x)$为奇函数。
步骤 2：逐项判断
(A) $y=\sin^2x$
令$f(x)=\sin^2x$，则$f(-x)=\sin^2(-x)=[-\sin x]^2=\sin^2x=f(x)$，所以$y=\sin^2x$是偶函数。
(B) $y=x\cos x$
令$f(x)=x\cos x$，则$f(-x)=(-x)\cos (-x)=-x\cos x=-f(x)$，所以$y=x\cos x$是奇函数。
(C) $y=\sin x+\cos x$
令$f(x)=\sin x+\cos x$，则$f(-x)=\sin (-x)+\cos (-x)=-\sin x+\cos x$，所以$y=\sin x+\cos x$是非奇非偶函数。
(D) $y=e^x$
令$f(x)=e^x$，则$f(-x)=e^{-x}\not= -f(x)$，所以$y=e^x$不是奇函数。
奇函数的定义是：如果对于函数$f(x)$，对于所有定义域内的$x$，都有$f(-x)=-f(x)$，则称$f(x)$为奇函数。
步骤 2：逐项判断
(A) $y=\sin^2x$
令$f(x)=\sin^2x$，则$f(-x)=\sin^2(-x)=[-\sin x]^2=\sin^2x=f(x)$，所以$y=\sin^2x$是偶函数。
(B) $y=x\cos x$
令$f(x)=x\cos x$，则$f(-x)=(-x)\cos (-x)=-x\cos x=-f(x)$，所以$y=x\cos x$是奇函数。
(C) $y=\sin x+\cos x$
令$f(x)=\sin x+\cos x$，则$f(-x)=\sin (-x)+\cos (-x)=-\sin x+\cos x$，所以$y=\sin x+\cos x$是非奇非偶函数。
(D) $y=e^x$
令$f(x)=e^x$，则$f(-x)=e^{-x}\not= -f(x)$，所以$y=e^x$不是奇函数。