题目

若矩阵A经初等列变换化为矩阵B,则()。A. 存在可逆矩阵P,使得PA=B;B. 存在可逆矩阵P,使得BP=A;C. 存在可逆矩阵P,使得PB=A;D. 方程组Ax=0与Bx=0同解。

若矩阵A经初等列变换化为矩阵B,则()。

A. 存在可逆矩阵P,使得PA=B;

B. 存在可逆矩阵P,使得BP=A;

C. 存在可逆矩阵P,使得PB=A;

D. 方程组Ax=0与Bx=0同解。

题目解答

答案

B. 存在可逆矩阵P,使得BP=A;

解析

考查要点：本题主要考查矩阵初等列变换的性质及其对矩阵方程和线性方程组解的影响。

解题核心思路：

  1. 初等列变换的本质：初等列变换等价于用初等矩阵从右侧乘以原矩阵，即若矩阵$A$经过一系列初等列变换得到$B$，则存在可逆矩阵$P$，使得$B = A P$。
  2. 选项分析：
    • 选项B的关键在于通过初等列变换的逆过程，推导出$B P = A$的形式。
    • 选项D需判断初等列变换是否保持方程组解的一致性，需结合变换对解空间的影响分析。

破题关键点：

  • 初等列变换的矩阵表示：明确初等列变换对应右侧乘以初等矩阵。
  • 方程组解的同解性：初等列变换改变列的线性关系，可能导致解空间结构变化。

选项B的推导

  1. 初等列变换的矩阵形式：
    若矩阵$A$经过初等列变换得到$B$，则存在一系列初等矩阵$P_1, P_2, \dots, P_k$，使得：
    $B = A P_1 P_2 \cdots P_k = A P$
    其中$P = P_1 P_2 \cdots P_k$是可逆矩阵。

  2. 逆变换关系：
    将等式$B = A P$两边右乘$P^{-1}$，得：
    $B P^{-1} = A$
    令$Q = P^{-1}$（仍为可逆矩阵），则：
    $B Q = A$
    即存在可逆矩阵$Q$，使得$B Q = A$，对应选项B。

选项D的反例分析

  1. 构造反例：
    设$A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 6 \end{bmatrix}$，其列空间为$\text{span}\{(1, 3)\}$，方程组$A \mathbf{x} = \mathbf{0}$的解为$x_2 = -2x_1$。

  2. 初等列变换：
    将第二列减去2倍第一列，得$B = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 3 & 0 \end{bmatrix}$，此时方程组$B \mathbf{x} = \mathbf{0}$的解为$x_2 = 0$，与原方程组解不同。

结论：选项D错误。