题目
[题目]空间曲线 =dfrac {y+2)(1)=dfrac (z-2)(0)-|||-B. dfrac (x-1)(2)=dfrac (y-2)(1)=dfrac (z+2)(0)-|||-C. dfrac (x-1)(2)=dfrac (y-2)(-1)=dfrac (z+2)(0)-|||-D. dfrac (x+1)(2)=dfrac (y+2)(-1)=dfrac (z-2)(0)
题目解答
答案
D. $\dfrac {x+1}{2}=\dfrac {y+2}{-1}=\dfrac {z-2}{0}$
解析
步骤 1：确定切线方向
切线方向由两个曲面的法向量的叉乘确定。曲面 ${x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2}=9$ 的法向量为 $\vec{n_1} = (2x, 2y, 2z)$，曲面 $x+2y+3z-1=0$ 的法向量为 $\vec{n_2} = (1, 2, 3)$。在点 (-1,-2,2) 处，$\vec{n_1} = (-2, -4, 4)$。因此，切线方向为 $\vec{n_1} \times \vec{n_2}$。
步骤 2：计算叉乘
$\vec{n_1} \times \vec{n_2} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -2 & -4 & 4 \\ 1 & 2 & 3 \end{vmatrix} = \vec{i}(-4 \cdot 3 - 4 \cdot 2) - \vec{j}(-2 \cdot 3 - 4 \cdot 1) + \vec{k}(-2 \cdot 2 - (-4) \cdot 1) = \vec{i}(-12 - 8) - \vec{j}(-6 - 4) + \vec{k}(-4 + 4) = -20\vec{i} + 10\vec{j} + 0\vec{k} = (-20, 10, 0)$。
步骤 3：确定切线方程
切线方程为 $\dfrac{x - x_0}{a} = \dfrac{y - y_0}{b} = \dfrac{z - z_0}{c}$，其中 $(x_0, y_0, z_0)$ 是切点，$(a, b, c)$ 是切线方向。因此，切线方程为 $\dfrac{x + 1}{-20} = \dfrac{y + 2}{10} = \dfrac{z - 2}{0}$。简化后得到 $\dfrac{x + 1}{2} = \dfrac{y + 2}{-1} = \dfrac{z - 2}{0}$。
切线方向由两个曲面的法向量的叉乘确定。曲面 ${x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2}=9$ 的法向量为 $\vec{n_1} = (2x, 2y, 2z)$，曲面 $x+2y+3z-1=0$ 的法向量为 $\vec{n_2} = (1, 2, 3)$。在点 (-1,-2,2) 处，$\vec{n_1} = (-2, -4, 4)$。因此，切线方向为 $\vec{n_1} \times \vec{n_2}$。
步骤 2：计算叉乘
$\vec{n_1} \times \vec{n_2} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -2 & -4 & 4 \\ 1 & 2 & 3 \end{vmatrix} = \vec{i}(-4 \cdot 3 - 4 \cdot 2) - \vec{j}(-2 \cdot 3 - 4 \cdot 1) + \vec{k}(-2 \cdot 2 - (-4) \cdot 1) = \vec{i}(-12 - 8) - \vec{j}(-6 - 4) + \vec{k}(-4 + 4) = -20\vec{i} + 10\vec{j} + 0\vec{k} = (-20, 10, 0)$。
步骤 3：确定切线方程
切线方程为 $\dfrac{x - x_0}{a} = \dfrac{y - y_0}{b} = \dfrac{z - z_0}{c}$，其中 $(x_0, y_0, z_0)$ 是切点，$(a, b, c)$ 是切线方向。因此，切线方程为 $\dfrac{x + 1}{-20} = \dfrac{y + 2}{10} = \dfrac{z - 2}{0}$。简化后得到 $\dfrac{x + 1}{2} = \dfrac{y + 2}{-1} = \dfrac{z - 2}{0}$。