题目

(8) int_(0)^pi(1-sin ^3theta )dtheta

(8) $\int_{0}^{\pi}(1-\sin ^{3}\theta )d\theta$

题目解答

答案

将原积分拆分为两部分： \[ \int_{0}^{\pi}(1-\sin^3\theta)d\theta = \int_{0}^{\pi}1d\theta - \int_{0}^{\pi}\sin^3\theta d\theta \] 计算第一部分： \[ \int_{0}^{\pi}1d\theta = \pi \] 计算第二部分，利用恒等式 $\sin^3\theta = \sin\theta - \sin\theta\cos^2\theta$： \[ \int_{0}^{\pi}\sin^3\theta d\theta = \int_{0}^{\pi}\sin\theta d\theta - \int_{0}^{\pi}\sin\theta\cos^2\theta d\theta = 2 - \frac{2}{3} = \frac{4}{3} \] 或利用对称性及递推公式： \[ \int_{0}^{\pi}\sin^3\theta d\theta = 2\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^3\theta d\theta = 2 \cdot \frac{2}{3} = \frac{4}{3} \] 因此，原积分结果为： \[ \boxed{\pi - \frac{4}{3}} \]

解析

考查要点：本题主要考查定积分的计算，特别是对含有三角函数高次幂的积分处理方法。需要掌握积分的线性性质、三角恒等式的应用以及换元积分法。

解题核心思路：

  1. 拆分积分：将原积分拆分为两个简单积分的差，简化计算。
  2. 处理高次幂：利用三角恒等式将$\sin^3\theta$降次，转化为低次幂的三角函数积分。
  3. 对称性简化：利用$\sin\theta$在区间$[0, \pi]$上的对称性，进一步简化计算。

破题关键点：

  • 拆分积分后分别计算两部分的结果。
  • 对$\sin^3\theta$应用恒等式$\sin^3\theta = \sin\theta - \sin\theta\cos^2\theta$，将高次幂转化为低次幂。
  • 通过换元法或对称性快速计算$\int \sin\theta\cos^2\theta d\theta$。

拆分积分

根据积分的线性性质，原积分可拆分为：
$\int_{0}^{\pi}(1-\sin^3\theta)d\theta = \int_{0}^{\pi}1d\theta - \int_{0}^{\pi}\sin^3\theta d\theta$

计算第一部分积分

$\int_{0}^{\pi}1d\theta = \pi - 0 = \pi$

处理$\sin^3\theta$的积分

利用恒等式$\sin^3\theta = \sin\theta - \sin\theta\cos^2\theta$，拆分得：
$\int_{0}^{\pi}\sin^3\theta d\theta = \int_{0}^{\pi}\sin\theta d\theta - \int_{0}^{\pi}\sin\theta\cos^2\theta d\theta$

计算$\int_{0}^{\pi}\sin\theta d\theta$

$\int_{0}^{\pi}\sin\theta d\theta = -\cos\theta \Big|_{0}^{\pi} = -\cos\pi + \cos0 = 2$

计算$\int_{0}^{\pi}\sin\theta\cos^2\theta d\theta$

换元法：令$u = \cos\theta$，则$du = -\sin\theta d\theta$，积分变为：
$\int_{1}^{-1} u^2 (-du) = \int_{-1}^{1} u^2 du = \frac{u^3}{3} \Big|_{-1}^{1} = \frac{2}{3}$

合并结果

$\int_{0}^{\pi}\sin^3\theta d\theta = 2 - \frac{2}{3} = \frac{4}{3}$

最终结果

原积分结果为：
$\pi - \frac{4}{3}$