题目
23.求由方程x^2-(y^2)/(2)=5所确定的隐函数的二阶导数y^primeprime.
23.求由方程$x^{2}-\frac{y^{2}}{2}=5$所确定的隐函数的二阶导数$y^{\prime\prime}$.
题目解答
答案
对原方程 $x^2 - \frac{y^2}{2} = 5$ 求导得：
\[
2x - yy' = 0 \implies y' = \frac{2x}{y}
\]
再求导：
\[
y'' = \frac{(2x)'y - 2x(y')}{y^2} = \frac{2y - 2x \cdot \frac{2x}{y}}{y^2} = \frac{2y^2 - 4x^2}{y^3}
\]
利用原方程 $x^2 = 5 + \frac{y^2}{2}$，代入得：
\[
y'' = \frac{2y^2 - 4\left(5 + \frac{y^2}{2}\right)}{y^3} = \frac{2y^2 - 20 - 2y^2}{y^3} = \frac{-20}{y^3}
\]
**答案：**
\[
\boxed{\frac{-20}{y^3}}
\]
或
\[
\boxed{\frac{2y^2 - 4x^2}{y^3}}
\]
解析
考查要点：本题主要考查隐函数的二阶导数求解方法，以及利用原方程化简结果的能力。
解题核心思路：
- 隐函数求导：对原方程两边同时关于$x$求导，解出一阶导数$y'$。
- 二阶导数求导：对$y'$再次求导，注意应用商的求导法则。
- 代入化简：将原方程中的$x^2$用$y$表示，代入二阶导数表达式，消去$x$，得到仅含$y$的最终结果。
破题关键点：
- 正确应用链式法则：在对含$y$的项求导时，需乘以$y'$。
- 商的求导法则：对$y' = \frac{2x}{y}$求导时，需正确处理分子和分母的导数。
- 代数化简：利用原方程消去$x^2$，简化表达式。
第一次求导
对原方程 $x^2 - \frac{y^2}{2} = 5$ 两边关于$x$求导：
$2x - y \cdot y' = 0 \implies y' = \frac{2x}{y}.$
第二次求导
对$y' = \frac{2x}{y}$再次求导，应用商的求导法则：
$y'' = \frac{(2x)' \cdot y - 2x \cdot y'}{y^2} = \frac{2y - 2x \cdot \frac{2x}{y}}{y^2} = \frac{2y^2 - 4x^2}{y^3}.$
代入原方程化简
由原方程得 $x^2 = 5 + \frac{y^2}{2}$，代入分子：
$2y^2 - 4x^2 = 2y^2 - 4\left(5 + \frac{y^2}{2}\right) = 2y^2 - 20 - 2y^2 = -20.$
因此，二阶导数为：
$y'' = \frac{-20}{y^3}.$