lim _(xarrow pi )dfrac (sin 3x)(tan 5x)。

考查要点：本题主要考查洛必达法则的应用，以及三角函数在特定角度的求值能力。

解题核心思路：
当$x \rightarrow \pi$时，分子$\sin 3x$和分母$\tan 5x$均趋近于$0$，形成$\dfrac{0}{0}$型不定式。此时可应用洛必达法则，将原极限转化为分子、分母导数的比值的极限。

破题关键点：

1. 正确求导分子$\sin 3x$和分母$\tan 5x$；
2. 代入$x = \pi$时，准确计算$\cos 3\pi$和$\sec^2 5\pi$的值。

步骤1：判断极限类型
当$x \rightarrow \pi$时，$\sin 3x \rightarrow \sin 3\pi = 0$，$\tan 5x \rightarrow \tan 5\pi = 0$，因此原式为$\dfrac{0}{0}$型不定式，满足洛必达法则的使用条件。

步骤2：应用洛必达法则
对分子和分母分别求导：

• 分子$\sin 3x$的导数为$3\cos 3x$；
• 分母$\tan 5x$的导数为$5\sec^2 5x$。

因此，原极限转化为：
$\lim _{x\rightarrow \pi }\dfrac{3\cos 3x}{5\sec^2 5x}$

步骤3：代入$x = \pi$计算

• $\cos 3\pi = \cos \pi = -1$；
• $\sec 5\pi = \dfrac{1}{\cos 5\pi} = \dfrac{1}{-1} = -1$，故$\sec^2 5\pi = (-1)^2 = 1$。

代入得：
$\dfrac{3 \cdot (-1)}{5 \cdot 1} = -\dfrac{3}{5}$