题目
lim _(xarrow pi )dfrac (sin 3x)(tan 5x)。
。
题目解答
答案
根据题意可知：
因为
又因为
所以
解析
步骤 1：确定极限形式
观察给定的极限表达式 $\lim _{x\rightarrow \pi }\dfrac {\sin 3x}{\tan 5x}$，当 $x\rightarrow \pi$ 时，分子 $\sin 3x$ 和分母 $\tan 5x$ 都趋向于0，因此这是一个 $\frac{0}{0}$ 的不定型，可以使用洛必达法则求解。
步骤 2：应用洛必达法则
洛必达法则指出，如果 $\lim _{x\rightarrow a}f(x)=0$ 且 $\lim _{x\rightarrow a}g(x)=0$，则 $\lim _{x\rightarrow a}\dfrac {f(x)}{g(x)}=\lim _{x\rightarrow a}\dfrac {f'(x)}{g'(x)}$，其中 $f'(x)$ 和 $g'(x)$ 分别是 $f(x)$ 和 $g(x)$ 的导数。因此，我们对分子和分母分别求导：
- 分子的导数：$(\sin 3x)'=3\cos 3x$
- 分母的导数：$(\tan 5x)'=5\sec^2 5x$
步骤 3：计算极限
将导数代入洛必达法则中，得到 $\lim _{x\rightarrow \pi }\dfrac {3\cos 3x}{5\sec^2 5x}$。当 $x\rightarrow \pi$ 时，$\cos 3x\rightarrow \cos 3\pi=-1$，$\sec^2 5x\rightarrow \sec^2 5\pi=1$，因此：
$$\lim _{x\rightarrow \pi }\dfrac {3\cos 3x}{5\sec^2 5x}=\dfrac {3(-1)}{5(1)}=-\dfrac{3}{5}$$
观察给定的极限表达式 $\lim _{x\rightarrow \pi }\dfrac {\sin 3x}{\tan 5x}$，当 $x\rightarrow \pi$ 时，分子 $\sin 3x$ 和分母 $\tan 5x$ 都趋向于0，因此这是一个 $\frac{0}{0}$ 的不定型，可以使用洛必达法则求解。
步骤 2：应用洛必达法则
洛必达法则指出，如果 $\lim _{x\rightarrow a}f(x)=0$ 且 $\lim _{x\rightarrow a}g(x)=0$，则 $\lim _{x\rightarrow a}\dfrac {f(x)}{g(x)}=\lim _{x\rightarrow a}\dfrac {f'(x)}{g'(x)}$，其中 $f'(x)$ 和 $g'(x)$ 分别是 $f(x)$ 和 $g(x)$ 的导数。因此，我们对分子和分母分别求导：
- 分子的导数：$(\sin 3x)'=3\cos 3x$
- 分母的导数：$(\tan 5x)'=5\sec^2 5x$
步骤 3：计算极限
将导数代入洛必达法则中，得到 $\lim _{x\rightarrow \pi }\dfrac {3\cos 3x}{5\sec^2 5x}$。当 $x\rightarrow \pi$ 时，$\cos 3x\rightarrow \cos 3\pi=-1$，$\sec^2 5x\rightarrow \sec^2 5\pi=1$，因此：
$$\lim _{x\rightarrow \pi }\dfrac {3\cos 3x}{5\sec^2 5x}=\dfrac {3(-1)}{5(1)}=-\dfrac{3}{5}$$