题目：.证明方程 ^5-3x=1 至少有一个根介于1和2之间.

考查要点：本题主要考查零点存在定理（介值定理）的应用，通过验证函数在区间端点的函数值符号变化，证明方程在该区间内至少存在一个根。

解题核心思路：

1. 构造函数：将方程转化为$f(x) = x^5 - 3x - 1$，寻找$f(x) = 0$的解。
2. 计算端点函数值：分别计算$f(1)$和$f(2)$的值，判断符号是否相反。
3. 应用定理：若$f(x)$在区间$[1, 2]$上连续且$f(1)f(2) < 0$，则根据零点存在定理，方程在$(1, 2)$内至少有一个根。

破题关键点：

• 正确构造函数，确保方程变形无误。
• 准确计算端点函数值，避免计算错误导致符号判断错误。
• 确认函数连续性（多项式函数天然连续，无需额外证明）。

步骤1：构造函数
将方程$x^5 - 3x = 1$改写为$f(x) = x^5 - 3x - 1$，需证明$f(x) = 0$在区间$(1, 2)$内有解。

步骤2：计算$f(1)$
$f(1) = 1^5 - 3 \cdot 1 - 1 = 1 - 3 - 1 = -3$

步骤3：计算$f(2)$
$f(2) = 2^5 - 3 \cdot 2 - 1 = 32 - 6 - 1 = 25$

步骤4：判断符号变化
$f(1) \cdot f(2) = (-3) \cdot 25 = -54 < 0$

步骤5：应用零点存在定理
多项式函数$f(x)$在$[1, 2]$上连续，且$f(1)$与$f(2)$异号，因此根据零点存在定理，方程$f(x) = 0$在$(1, 2)$内至少有一个根。