题目
7.[单选题]设A为3阶方阵,行列式 |A|=1 A`为-|||-A的伴随矩阵,则行列式 |((2A))^-1-(2A)^-|= ()-|||-A. -dfrac (27)(8)-|||-B. -dfrac (8)(27)-|||-C. dfrac (27)(8)-|||-D.8/27-|||-我的答案:A-|||-正确答案:A
题目解答
答案
解析
步骤 1：计算 $A^{-1}$ 和 $A^{*}$
根据矩阵的性质，$A^{-1}=\dfrac{A^{*}}{|A|}$，其中 $A^{*}$ 是 $A$ 的伴随矩阵，$|A|$ 是 $A$ 的行列式。因此，$A^{*}=A^{-1}\cdot |A|$。
步骤 2：计算 $|{(2A)}^{-1}-2A'|$
根据题目，我们需要计算 $|{(2A)}^{-1}-2A'|$。首先，计算 $(2A)^{-1}$，即 $\dfrac{1}{2}A^{-1}$。然后，计算 $2A'$，即 $2A^{*}$。因此，$|{(2A)}^{-1}-2A'|=|\dfrac{1}{2}A^{-1}-2A^{*}|$。
步骤 3：代入 $A^{*}=A^{-1}\cdot |A|$ 并计算
将 $A^{*}=A^{-1}\cdot |A|$ 代入上式，得到 $|\dfrac{1}{2}A^{-1}-2A^{-1}\cdot |A||$。由于 $|AB|=1$，则 $|A|\cdot |B|=1$，因此 $|A|=\dfrac{1}{|B|}$。由于 $A$ 是3阶方阵，$|A|=\dfrac{1}{|B|}$，则 $|A|=\dfrac{1}{1}=1$。因此，$|\dfrac{1}{2}A^{-1}-2A^{-1}\cdot 1|=|\dfrac{1}{2}A^{-1}-2A^{-1}|=|\dfrac{-3}{2}A^{-1}|$。由于 $A$ 是3阶方阵，$|A^{-1}|=\dfrac{1}{|A|}=1$，因此 $|\dfrac{-3}{2}A^{-1}|=\dfrac{-27}{8}$。
根据矩阵的性质，$A^{-1}=\dfrac{A^{*}}{|A|}$，其中 $A^{*}$ 是 $A$ 的伴随矩阵，$|A|$ 是 $A$ 的行列式。因此，$A^{*}=A^{-1}\cdot |A|$。
步骤 2：计算 $|{(2A)}^{-1}-2A'|$
根据题目，我们需要计算 $|{(2A)}^{-1}-2A'|$。首先，计算 $(2A)^{-1}$，即 $\dfrac{1}{2}A^{-1}$。然后，计算 $2A'$，即 $2A^{*}$。因此，$|{(2A)}^{-1}-2A'|=|\dfrac{1}{2}A^{-1}-2A^{*}|$。
步骤 3：代入 $A^{*}=A^{-1}\cdot |A|$ 并计算
将 $A^{*}=A^{-1}\cdot |A|$ 代入上式，得到 $|\dfrac{1}{2}A^{-1}-2A^{-1}\cdot |A||$。由于 $|AB|=1$，则 $|A|\cdot |B|=1$，因此 $|A|=\dfrac{1}{|B|}$。由于 $A$ 是3阶方阵，$|A|=\dfrac{1}{|B|}$，则 $|A|=\dfrac{1}{1}=1$。因此，$|\dfrac{1}{2}A^{-1}-2A^{-1}\cdot 1|=|\dfrac{1}{2}A^{-1}-2A^{-1}|=|\dfrac{-3}{2}A^{-1}|$。由于 $A$ 是3阶方阵，$|A^{-1}|=\dfrac{1}{|A|}=1$，因此 $|\dfrac{-3}{2}A^{-1}|=\dfrac{-27}{8}$。