已知级数 sum _(n=1)^infty dfrac (1)({3)^xln n} 是收敛的，利用等式 sum _(n=1)^infty dfrac (1)({3)^xln n}，必有( )A sum _(n=1)^infty dfrac (1)({3)^xln n}(1)/(ln3)" data-width="96" data-height="46" data-size="1419" data-format="png" style="max-width:100%">B sum _(n=1)^infty dfrac (1)({3)^xln n}C sum _(n=1)^infty dfrac (1)({3)^xln n}

考查要点：本题主要考查级数收敛性的判断，特别是利用对数恒等式将复杂级数转化为p-级数形式，并应用p-级数的收敛条件求解参数范围。

解题核心思路：

1. 识别级数结构：将原级数中的分母项通过指数运算和对数恒等式进行变形，转化为标准的p-级数形式。
2. 应用p-级数收敛条件：确定转化后的级数形式后，根据p-级数的收敛条件（指数项需大于1）建立不等式，解出参数范围。

破题关键点：

• 对数恒等式的应用：利用等式 $a^{\ln b} = b^{\ln a}$，将分母中的 $3^{\lambda \ln n}$ 转化为 $n^{\lambda \ln 3}$。
• p-级数的收敛条件：明确 $\sum \frac{1}{n^p}$ 收敛当且仅当 $p > 1$，从而建立关于 $\lambda$ 的不等式。

原级数形式：$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{3^{\lambda \ln n}}$

步骤1：对分母进行变形

利用对数恒等式 $a^{\ln b} = b^{\ln a}$，将分母改写为：
$3^{\lambda \ln n} = (e^{\ln 3})^{\lambda \ln n} = e^{\lambda (\ln 3)(\ln n)} = n^{\lambda \ln 3}$

步骤2：转化为p-级数形式

原级数变为：
$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{\lambda \ln 3}} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^p} \quad \text{其中} \ p = \lambda \ln 3$

步骤3：应用p-级数收敛条件

p-级数 $\sum \frac{1}{n^p}$ 收敛当且仅当 $p > 1$，即：
$\lambda \ln 3 > 1$

步骤4：解不等式求参数范围

解得：
$\lambda > \frac{1}{\ln 3}$