,-|||-6.求曲线 ) (x)^2+(y)^2+(z)^2-3x=0 2x-3y+5z-4=0 . 在点(1,1,1)处的切线及法平面方程.

步骤 1：确定曲线在点(1,1,1)处的切线方向
曲线由两个方程定义，我们可以通过计算这两个方程在点(1,1,1)处的梯度来确定切线方向。梯度是函数在某一点处变化率最大的方向，对于给定的方程，梯度向量为：
$\nabla F_1 = \left( \frac{\partial F_1}{\partial x}, \frac{\partial F_1}{\partial y}, \frac{\partial F_1}{\partial z} \right)$
$\nabla F_2 = \left( \frac{\partial F_2}{\partial x}, \frac{\partial F_2}{\partial y}, \frac{\partial F_2}{\partial z} \right)$
其中，$F_1 = x^2 + y^2 + z^2 - 3x$ 和 $F_2 = 2x - 3y + 5z - 4$。
计算梯度：
$\nabla F_1 = (2x - 3, 2y, 2z)$
$\nabla F_2 = (2, -3, 5)$
在点(1,1,1)处，梯度为：
$\nabla F_1(1,1,1) = (-1, 2, 2)$
$\nabla F_2(1,1,1) = (2, -3, 5)$
切线方向为这两个梯度向量的叉积，即：
$\vec{t} = \nabla F_1 \times \nabla F_2 = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -1 & 2 & 2 \\ 2 & -3 & 5 \end{vmatrix} = (16, 9, -1)$
步骤 2：写出切线方程
切线方程可以表示为：
$\frac{x - x_0}{t_x} = \frac{y - y_0}{t_y} = \frac{z - z_0}{t_z}$
其中，$(x_0, y_0, z_0)$ 是切点坐标，$(t_x, t_y, t_z)$ 是切线方向向量。将点(1,1,1)和切线方向向量(16, 9, -1)代入，得到切线方程：
$\frac{x - 1}{16} = \frac{y - 1}{9} = \frac{z - 1}{-1}$
步骤 3：写出法平面方程
法平面方程可以表示为：
$A(x - x_0) + B(y - y_0) + C(z - z_0) = 0$
其中，$(A, B, C)$ 是法向量，$(x_0, y_0, z_0)$ 是平面上的点。法向量可以取为切线方向向量(16, 9, -1)，将点(1,1,1)代入，得到法平面方程：
$16(x - 1) + 9(y - 1) - (z - 1) = 0$
化简得到：
$16x + 9y - z - 24 = 0$