两艘飞船相向运动,它们相对地面的速率是v.在A船中有一根米尺,米尺顺着飞船的运动-|||-方向放置.问B船中的观察者测得该米尺的长度是多少?

本题考查考查狭义相对论中的速度变换公式和长度收缩公式的应用。解题思路是先根据速度变换公式求出米尺相对B船的速度，再利用长度收缩公式计算B船中的观察者测得该米尺的长度。

步骤一：求米尺相对B船的速度

设地球为$S$系，飞船$B$为$S'$系，飞船$A$中的尺为运动物体。已知$S'$系相对$S$系的速率$u = v$，尺相对地球的速率$v_x=-v$。
根据狭义相对论的速度变换公式$v_{x}'=\frac{v_x - u}{1-\frac{uv_x}{c^2}}{1-\frac{uv_x}{c^2}}$，将$u = v$，v_x=-v)代入可得：
$\begin{align*}v_{12}&=\frac{-v - v}{1-\frac{v\times(-v)}{c^2}}\\&=\frac{-2v}{1+\frac{v^2}{c^2}}\end{align*}$
这里$v_{12}$就是尺相对$B$船的速率。

步骤二：求B船中的观察者测得该米尺的长度

根据狭义相对论的长度收缩公式$l = l_0\sqrt{1-\frac{v_{12}^2}{c^2}}$，其中$l_0 = 1m$为米尺在其静止时的长度（即固有长度）。
将$v_{12}=\frac{-2v}{1+\frac{v^2}{c^2}}$代入长度收缩公式可得：
[
\begin{align*}l&=1\times\sqrt{1-\frac{(\frac{-2v\div(1+\frac{v^2}{c^2})\})^2}{c^2}}\\&=\sqrt{1-\frac{4v^2}{(1+\frac{v^2}{c^2})^2c^2}}\\&=\frac{\sqrt{c^4 - 3v^2c^2 - v^4}{c^2 + v^2}\end{align*}
)