题目

17.计算定积分int_(0)^sqrt(2)(x^2)/(sqrt(4-x^2)) dx.

17.计算定积分$\int_{0}^{\sqrt{2}}\frac{x^{2}}{\sqrt{4-x^{2}} }dx$.

题目解答

答案

为了计算定积分 $\int_{0}^{\sqrt{2}} \frac{x^2}{\sqrt{4-x^2}} \, dx$，我们可以使用三角代换。设 $x = 2 \sin \theta$。那么 $dx = 2 \cos \theta \, d\theta$。 当 $x = 0$ 时，$\theta = \sin^{-1}(0) = 0$。当 $x = \sqrt{2}$ 时，$\theta = \sin^{-1}\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \frac{\pi}{4}$。 将 $x = 2 \sin \theta$ 和 $dx = 2 \cos \theta \, d\theta$ 代入积分，我们得到： \[ \int_{0}^{\sqrt{2}} \frac{x^2}{\sqrt{4-x^2}} \, dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{(2 \sin \theta)^2}{\sqrt{4 - (2 \sin \theta)^2}} \cdot 2 \cos \theta \, d\theta. \] 简化被积函数，我们有： \[ \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{4 \sin^2 \theta}{\sqrt{4 - 4 \sin^2 \theta}} \cdot 2 \cos \theta \, d\theta = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{4 \sin^2 \theta}{2 \sqrt{1 - \sin^2 \theta}} \cdot 2 \cos \theta \, d\theta = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{4 \sin^2 \theta}{2 \cos \theta} \cdot 2 \cos \theta \, d\theta = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} 4 \sin^2 \theta \, d\theta. \] 使用恒等式 $\sin^2 \theta = \frac{1 - \cos 2\theta}{2}$，我们得到： \[ \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} 4 \sin^2 \theta \, d\theta = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} 4 \cdot \frac{1 - \cos 2\theta}{2} \, d\theta = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} 2 (1 - \cos 2\theta) \, d\theta = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} (2 - 2 \cos 2\theta) \, d\theta. \] 将积分分开，我们有： \[ \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} 2 \, d\theta - \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} 2 \cos 2\theta \, d\theta = 2 \theta \bigg|_{0}^{\frac{\pi}{4}} - \sin 2\theta \bigg|_{0}^{\frac{\pi}{4}} = 2 \left(\frac{\pi}{4}\right) - 2 \left(\frac{\pi}{4}\right) - \sin \left(2 \cdot \frac{\pi}{4}\right) + \sin (0) = \frac{\pi}{2} - \sin \left(\frac{\pi}{2}\right) = \frac{\pi}{2} - 1. \] 因此，定积分的值是： \[ \boxed{\frac{\pi}{2} - 1}. \]

解析

考查要点：本题主要考查定积分的计算，特别是利用三角代换处理根式分母的能力，以及运用三角恒等式简化积分表达式的方法。

解题核心思路：
当积分中出现形如$\sqrt{a^2 - x^2}$的表达式时，通常采用三角代换，令$x = a \sin \theta$，将根式转化为关于$\cos \theta$的表达式，从而简化积分。本题中，分母为$\sqrt{4 - x^2}$，因此选择$x = 2 \sin \theta$进行代换。代换后需将积分上下限转换为对应的角度范围，并利用三角恒等式$\sin^2 \theta = \frac{1 - \cos 2\theta}{2}$进一步简化积分。

破题关键点：

  1. 正确选择代换变量，将$x$表示为$2 \sin \theta$，并计算对应的$dx$。
  2. 准确转换积分上下限，当$x = 0$和$x = \sqrt{2}$时，对应$\theta$的取值。
  3. 化简被积函数，通过代换消除根式，并利用三角恒等式将$\sin^2 \theta$转化为线性表达式。
  4. 分步积分，分别计算常数项和余弦项的积分，最后代入上下限求解。

步骤1：三角代换
设$x = 2 \sin \theta$，则$dx = 2 \cos \theta \, d\theta$。
当$x = 0$时，$\theta = 0$；当$x = \sqrt{2}$时，$\theta = \frac{\pi}{4}$。

步骤2：代换积分表达式
原积分变为：
$\begin{aligned}\int_{0}^{\sqrt{2}} \frac{x^2}{\sqrt{4 - x^2}} \, dx &= \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{(2 \sin \theta)^2}{\sqrt{4 - (2 \sin \theta)^2}} \cdot 2 \cos \theta \, d\theta \\&= \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{4 \sin^2 \theta}{2 \cos \theta} \cdot 2 \cos \theta \, d\theta \\&= \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} 4 \sin^2 \theta \, d\theta.\end{aligned}$

步骤3：应用三角恒等式
利用$\sin^2 \theta = \frac{1 - \cos 2\theta}{2}$，积分化简为：
$\begin{aligned}\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} 4 \sin^2 \theta \, d\theta &= \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} 4 \cdot \frac{1 - \cos 2\theta}{2} \, d\theta \\&= \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} (2 - 2 \cos 2\theta) \, d\theta.\end{aligned}$

步骤4：分步积分
分别计算常数项和余弦项的积分：
$\begin{aligned}\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} 2 \, d\theta &= 2 \theta \bigg|_{0}^{\frac{\pi}{4}} = \frac{\pi}{2}, \\\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} 2 \cos 2\theta \, d\theta &= \sin 2\theta \bigg|_{0}^{\frac{\pi}{4}} = 1.\end{aligned}$

步骤5：合并结果
最终结果为：
$\frac{\pi}{2} - 1.$