题目

7.已知函数f(x)=xint_(1)^x(e^t^(2))/(t)dt,则f(x)在(0,1)上的平均值为____.

7.已知函数$f(x)=x\int_{1}^{x}\frac{e^{t^{2}}}{t}dt$,则f(x)在(0,1)上的平均值为____.

题目解答

答案

为了找到函数 $ f(x) = x \int_{1}^{x} \frac{e^{t^2}}{t} \, dt $ 在区间 $(0,1)$ 上的平均值，我们使用函数在区间 $[a,b]$ 上的平均值公式，该公式为： \[ \text{平均值} = \frac{1}{b-a} \int_{a}^{b} f(x) \, dx \] 对于区间 $(0,1)$，我们有 $a = 0$ 和 $b = 1$。因此，平均值为： \[ \text{平均值} = \int_{0}^{1} f(x) \, dx \] 首先，我们需要计算 $ \int_{0}^{1} f(x) \, dx $。函数 $ f(x) $ 给定为： \[ f(x) = x \int_{1}^{x} \frac{e^{t^2}}{t} \, dt \] 为了找到 $ \int_{0}^{1} f(x) \, dx $，我们使用分部积分法。设 $ u = \int_{1}^{x} \frac{e^{t^2}}{t} \, dt $ 和 $ dv = x \, dx $。那么 $ du = \frac{e^{x^2}}{x} \, dx $ 和 $ v = \frac{x^2}{2} $。使用分部积分法，我们得到： \[ \int_{0}^{1} f(x) \, dx = \int_{0}^{1} x \int_{1}^{x} \frac{e^{t^2}}{t} \, dt \, dx = \left[ \frac{x^2}{2} \int_{1}^{x} \frac{e^{t^2}}{t} \, dt \right]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{x^2}{2} \cdot \frac{e^{x^2}}{x} \, dx \] 计算第一项： \[ \left[ \frac{x^2}{2} \int_{1}^{x} \frac{e^{t^2}}{t} \, dt \right]_{0}^{1} = \frac{1^2}{2} \int_{1}^{1} \frac{e^{t^2}}{t} \, dt - \frac{0^2}{2} \int_{1}^{0} \frac{e^{t^2}}{t} \, dt = 0 - 0 = 0 \] 因此，表达式简化为： \[ \int_{0}^{1} f(x) \, dx = - \int_{0}^{1} \frac{x^2}{2} \cdot \frac{e^{x^2}}{x} \, dx = - \frac{1}{2} \int_{0}^{1} x e^{x^2} \, dx \] 为了计算 $ \int_{0}^{1} x e^{x^2} \, dx $，我们使用代换 $ u = x^2 $。那么 $ du = 2x \, dx $ 或 $ x \, dx = \frac{1}{2} du $。当 $ x = 0 $ 时，$ u = 0 $，当 $ x = 1 $ 时，$ u = 1 $。因此，积分变为： \[ \int_{0}^{1} x e^{x^2} \, dx = \int_{0}^{1} e^u \cdot \frac{1}{2} \, du = \frac{1}{2} \int_{0}^{1} e^u \, du = \frac{1}{2} \left[ e^u \right]_{0}^{1} = \frac{1}{2} (e^1 - e^0) = \frac{1}{2} (e - 1) \] 将此结果代回，我们得到： \[ \int_{0}^{1} f(x) \, dx = - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} (e - 1) = - \frac{1}{4} (e - 1) = \frac{1 - e}{4} \] 由于 $ f(x) $ 在 $(0,1)$ 上的平均值是 $ \int_{0}^{1} f(x) \, dx $，我们有： \[ \text{平均值} = \frac{1 - e}{4} \] 因此，$ f(x) $ 在 $(0,1)$ 上的平均值为： \[ \boxed{\frac{1 - e}{4}} \]

解析

考查要点：本题主要考查函数在区间上的平均值计算，涉及分部积分法和换元积分法的应用。

解题核心思路：

  1. 平均值公式：函数$f(x)$在区间$(a,b)$上的平均值为$\frac{1}{b-a}\int_{a}^{b}f(x)dx$。本题中区间为$(0,1)$，因此平均值即为$\int_{0}^{1}f(x)dx$。
  2. 处理复合积分：函数$f(x)=x\int_{1}^{x}\frac{e^{t^2}}{t}dt$包含双重积分，需通过分部积分法拆解。
  3. 换元积分：对简化后的积分$\int x e^{x^2}dx$使用换元法（令$u=x^2$）求解。

破题关键：

  • 分部积分的选择：合理选择$u$和$dv$，将原积分转化为更易处理的形式。
  • 积分上下限的处理：注意分部积分后边界项的计算，避免遗漏或错误代入。

步骤1：写出平均值公式
函数$f(x)$在$(0,1)$上的平均值为：
$\text{平均值} = \int_{0}^{1} f(x) dx$

步骤2：展开原函数并分部积分
设$u = \int_{1}^{x} \frac{e^{t^2}}{t} dt$，$dv = x dx$，则：
$du = \frac{e^{x^2}}{x} dx, \quad v = \frac{x^2}{2}$
根据分部积分公式：
$\int_{0}^{1} f(x) dx = \left[ \frac{x^2}{2} \int_{1}^{x} \frac{e^{t^2}}{t} dt \right]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{x^2}{2} \cdot \frac{e^{x^2}}{x} dx$

步骤3：计算边界项
当$x=1$时，积分上限与下限均为1，结果为0；当$x=0$时，$x^2/2=0$，因此边界项整体为0。

步骤4：简化剩余积分
剩余部分为：
$- \frac{1}{2} \int_{0}^{1} x e^{x^2} dx$

步骤5：换元积分
令$u = x^2$，则$du = 2x dx$，积分变为：
$\int_{0}^{1} x e^{x^2} dx = \frac{1}{2} \int_{0}^{1} e^u du = \frac{1}{2}(e - 1)$

步骤6：代入结果
最终平均值为：
$\text{平均值} = -\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}(e - 1) = \frac{1 - e}{4}$